$\mathbb{R}$及$\mathcal{P}(\mathbb{R}^n)$博雷尔概率测度空间连通性证明问询

嗨，你的直觉完全正确！凸集的路径连通性正是破解这个问题的关键——$\mathcal{P}(\mathbb{R}^n)$不仅是连通的，更是路径连通的，而路径连通性直接蕴含连通性，咱们一步步来理清楚：

核心思路：利用凸构造连续路径 #

既然你已经证得$\mathcal{P}(\mathbb{R}^n)$是凸集，那对于任意两个博雷尔概率测度$\mu, \nu \in \mathcal{P}(\mathbb{R}^n)$，我们可以直接构造一条从$\mu$到$\nu$的连续路径：
$$\gamma(t) = t\mu + (1-t)\nu, \quad t \in [0,1]$$
首先要确认这条路径完全落在$\mathcal{P}(\mathbb{R}^n)$内：因为$\mu$和$\nu$都是概率测度，所以对任意博雷尔集$A$，有
$$\gamma(t)(A) = t\mu(A) + (1-t)\nu(A)$$
显然$\gamma(t)(\mathbb{R}^n) = t\cdot1 + (1-t)\cdot1 = 1$，且$\gamma(t)$满足测度的非负性和可数可加性，所以$\gamma(t)$确实是博雷尔概率测度。

证明路径在Prokhorov度量下连续 #

接下来要验证$\gamma(t)$是Prokhorov度量下的连续映射。回忆一下：Prokhorov度量诱导的拓扑就是弱收敛（弱*）拓扑，所以我们只需要证明当$t \to t_0$时，$\gamma(t)$弱收敛到$\gamma(t_0)$。

根据弱收敛的定义：对任意有界连续函数$f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$，需满足
$$\lim_{t \to t_0} \int_{\mathbb{R}^n} f , d\gamma(t) = \int_{\mathbb{R}^n} f , d\gamma(t_0)$$
把$\gamma(t)$代入左边展开：
$$\lim_{t \to t_0} \left[ t\int_{\mathbb{R}^n} f , d\mu + (1-t)\int_{\mathbb{R}^n} f , d\nu \right]$$
这就是关于$t$的线性函数，显然连续，极限等于$t_0\int f d\mu + (1-t_0)\int f d\nu$，也就是$\int f d\gamma(t_0)$，完全符合弱收敛的要求。

结论推导 #

因为任意两个测度之间都存在这样的连续路径，所以$\mathcal{P}(\mathbb{R}^{n)$是路径连通空间。而拓扑学中，路径连通空间必然是连通空间，因此$\mathcal{P}(\mathbb{R}}n)$（包括$n=1$时的$\mathcal{P}(\mathbb{R})$）都是连通的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Canes