已知f在x₀处连续且满足f(x+y)=f(x)+f(y)，证明f处处连续

首先，你的推导方向有点绕，没抓住柯西方程的核心变形技巧，我们一步步来梳理清楚：

先明确已知条件和柯西方程的基础推论 #

已知：

1. 函数 ( f ) 在 ( x_0 ) 处连续：对任意 ( \varepsilon > 0 )，存在 ( \delta > 0 )，当 ( |t - x_0| < \delta ) 时，( |f(t) - f(x_0)| < \varepsilon )
2. 函数满足柯西方程：( f(x+y) = f(x) + f(y) )，从这个方程可以推出几个关键结论：
   • 令 ( x = y = 0 )，得 ( f(0) = f(0) + f(0) )，所以 ( f(0) = 0 )
   • 令 ( y = -x )，得 ( f(0) = f(x) + f(-x) )，所以 ( f(-x) = -f(x) )
   • 进一步可得 ( f(x - y) = f(x) + f(-y) = f(x) - f(y) )

从 ( x_0 ) 处的连续推导“小增量对应的函数值可以任意小” #

利用柯西方程改写 ( x_0 ) 处的连续条件：
当 ( |t - x_0| < \delta ) 时，令 ( h = t - x_0 )，则 ( t = x_0 + h )，且 ( |h| < \delta )。代入连续定义：
[
|f(x_0 + h) - f(x_0)| < \varepsilon
]
根据柯西方程，( f(x_0 + h) = f(x_0) + f(h) )，代入上式得：
[
|f(x_0) + f(h) - f(x_0)| = |f(h)| < \varepsilon
]
这一步是关键：只要增量 ( h ) 的绝对值小于 ( \delta )，( |f(h)| ) 就小于 ( \varepsilon )。

证明 ( f ) 在任意实数 ( y ) 处连续 #

要证 ( f ) 在任意 ( y \in \mathbb{R} ) 处连续，即对任意 ( \varepsilon > 0 )，找到对应的 ( \delta > 0 )，使得当 ( |x - y| < \delta ) 时，( |f(x) - f(y)| < \varepsilon )。

利用之前的推论 ( f(x) - f(y) = f(x - y) )，令 ( h = x - y )，则当 ( |x - y| < \delta ) 时，( |h| < \delta )，根据上面的结论，( |f(h)| < \varepsilon )，也就是：
[
|f(x) - f(y)| = |f(h)| < \varepsilon
]
完全满足连续的定义。

这样就证明了 ( f ) 在全体实数上处处连续。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Zduff