询问∑ₙ=1^∞λ(n)logcosh(1/n)是否存在闭形式表达式

首先明确Liouville Lambda函数的定义：对于整数$n \geq 1$，$\lambda(n) = (-1)^{\Omega(n)}$，其中$\Omega(n)$表示$n$的素因子个数（计重数）。

你提出的核心问题是：级数
$$\sum_{n=1}^\infty\lambda(n)\log\cosh\frac{1}{n}\tag{1}$$
是否存在闭形式表达式？

结合你提到的背景——你了解将$\lambda(n)$替换为莫比乌斯函数$\mu(n)$的同类问题，我可以从以下几个角度分析这个问题：

• 级数展开转化：首先我们可以利用$\log\cosh x$的泰勒展开式：
  $$\log\cosh x = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}(2{2k}-2)B_{2k}}{(2k)!}x^{2k}$$
  其中$B_{2k}$是伯努利数。将$x=1/n$代入并交换求和顺序（由于级数绝对收敛，交换是合法的），原级数可以转化为：
  $$\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}(2{2k}-2)B_{2k}}{(2k)!} \sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)}{n^{2k}}$$

• Dirichlet级数关联：Liouville函数的Dirichlet级数是已知的：
  $$\sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)}{n^s} = \frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)}$$
  这里$\zeta(s)$是黎曼zeta函数。代入$s=2k$后，原级数可以改写为：
  $$\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}(2{2k}-2)B_{2k}\zeta(4k)}{(2k)!\zeta(2k)}$$

• 闭形式的现状：目前数学界并没有发现这个级数可以表示为初等函数或常见特殊函数的有限组合形式——也就是通常意义上的“闭形式”。上面的转化只是将原级数用zeta函数和伯努利数的无穷级数来表示，这虽然是一种解析表达，但并不符合我们对闭形式的常规定义。

如果后续想要深入研究，可以尝试从Dirichlet级数的性质、Liouville函数的卷积特性入手，或者对比$\mu(n)$对应的级数结论来寻找突破口，但就目前已有的研究成果来看，这个级数还没有简洁的闭形式解。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user243301