浸入流形的维数是否唯一？关于高维浸入映射的技术疑问

嘿，这个问题问到点子上了——本质是要结合浸入的局部拓扑性质和流形维数的拓扑不变性来分析。直接给你结论：在你设定的条件下，这样的浸入映射$G$是不存在的，下面给你一步步拆解原因：

• 先看浸入的局部特性：对于浸入映射$F:M^n \rightarrow \mathbb{R}^m$，每一点$p \in M^n$都存在一个邻域$U$，使得$F|_U: U \rightarrow F(U)$是局部微分同胚（这是隐函数定理的推论，因为浸入的秩等于原流形的维数$n$，局部可以把$F$看成是$\mathbb{R}^{n$到$\mathbb{R}}m$的“嵌入式”映射，把$U$映成$\mathbb{R}^{m$中一个和$\mathbb{R}}n$拓扑同胚的开子集）。这意味着$S=F(M)$中的每一个点，都有一个在$S$内的邻域和$\mathbb{R}^n$拓扑同胚。

• 再明确一个关键拓扑结论：第二可数拓扑流形的维数是拓扑不变量。换句话说，两个不同维数的第二可数拓扑流形不可能同胚。举个直观的例子，用同调群就能区分：$\mathbb{R}^{n$的$n$阶奇异同调群是$\mathbb{Z}$，而$\mathbb{R}}{n+1}$的$n$阶奇异同调群是$0$，这直接说明它们拓扑结构完全不同。

• 现在假设存在你描述的浸入$G:\tilde{M}^{n+1} \rightarrow \mathbb{R}^{m$，使得$G(\tilde{M}}{n+1}) \subset S$。那$G$作为浸入，它的像中的每一点也都有一个邻域（在$G(\tilde{M}^{{n+1})$内）和$\mathbb{R}}{n+1}$同胚。但这个邻域同时也是$S$的子集，而$S$的每一点邻域都和$\mathbb{R}^{n$同胚——这就产生了矛盾：一个集合不可能同时和$\mathbb{R}}n$、$\mathbb{R}^{n+1}$的开集拓扑同胚，毕竟这两个欧氏空间本身就不同胚。

哪怕考虑$F$的像$S$有自交（比如八字形这种非嵌入的浸入像），这个结论依然成立。因为$G$的像作为$n+1$维流形的浸入像，局部必然是$\mathbb{R}^{{n+1}$的开集结构，这和$S$局部的$\mathbb{R}}n$结构根本无法兼容。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者abcdef