实Hermitian矩阵与反Hermitian矩阵组合(A-B)(A+B)的特征值性质问询

首先明确题目里的关键前提：

• 实Hermitian矩阵A就是实对称矩阵，满足$A^T = A$；
• 实反Hermitian矩阵B就是实反对称矩阵，满足$B^T = -B$。

核心观察：矩阵的等价改写 #

我们可以先对$(A-B)(A+B)$做一个关键变形：
因为$(A+B)^T = A^T + B^T = A - B$（利用A对称、B反对称的性质），所以：
$$(A-B)(A+B) = (A+B)^T (A+B)$$
这是一个标准的Gram矩阵（实矩阵的转置与自身的乘积），而Gram矩阵的半正定性是有明确结论的。

二次型分析半正定性 #

对于任意实向量$x$，计算它对应的二次型：
$$x^T (A-B)(A+B)x = x^T (A+B)^T (A+B)x = |(A+B)x|^2$$
这里$|·|$是欧几里得向量范数，它的平方必然是非负的（$|(A+B)x|^2 ≥ 0$），对所有实向量$x$都成立。

这直接能得出结论：

• 矩阵$(A-B)(A+B)$一定是半正定矩阵，它的所有特征值（也就是题目里的$\Lambda^2$）都是非负实数。

关于$\Lambda$的取值 #

题目里的特征值方程是$(A-B)(A+B)\phi^T = \Lambda^2 \phi^{T$，这里$\Lambda}2$是矩阵的特征值，$\Lambda$是特征值的平方根：

• 如果$A+B$是满秩矩阵（不存在非零向量$x$使得$(A+B)x=0$），那么二次型$|(A+B)x|^2 > 0$对所有非零$x$成立，矩阵是正定的，此时$\Lambda^2 > 0$，$\Lambda$可以是正实数或负实数；
• 如果$A+B$是奇异矩阵（存在非零向量$x$使得$(A+B)x=0$），那么矩阵存在零特征值，对应的$\Lambda=0$。

所以$\Lambda$并不恒为正，它可以是0或者正负实数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user123