含参数二次方程x²+6x+q=0：解的距离大于4时q的取值范围

问题描述 #

给定二次方程$x^2+6x+q=0$，当方程的两个根之间的距离大于4时，求参数$q$的取值范围。

解答过程 #

首先，设方程的两个根为$x_1$和$x_2$，根据韦达定理，我们可以得到：
$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 = -6 \
x_1 \cdot x_2 = q
\end{cases}
$$

题目要求两根之间的距离大于4，也就是$|x_1 - x_2| > 4$。绝对值不等式可以拆解为两种情况：

• $x_1 - x_2 > 4$
• $x_1 - x_2 < -4$

我们对这两种情况分别平方（由于平方操作对非负数和负数的绝对值都适用，平方后不等号方向保持不变）：

情况1：$x_1 - x_2 > 4$

两边平方后得到：
$$(x_1 - x_2)^2 > 16$$
将左边展开为韦达定理相关的形式：
$$(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 > 16$$
代入$x_1+x_2=-6$和$x_1x_2=q$：
$$(-6)^2 - 4q > 16$$
计算化简：
$$36 - 4q > 16 \implies -4q > -20 \implies q < 5$$

情况2：$x_1 - x_2 < -4$

同样两边平方：
$$(x_1 - x_2)^2 > 16$$
展开后和情况1完全一致，代入韦达定理的结果后，同样解得：
$$q < 5$$

额外注意：方程要有实根的前提 #

二次方程存在两个实根的条件是判别式$\Delta \geq 0$，即：
$$6^2 - 4q \geq 0 \implies 36 - 4q \geq 0 \implies q \leq 9$$

结合前面得到的$q < 5$，最终参数$q$的取值范围是：
$$q \in (-\infty, 5)$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Petar Petrovic