验证自创平方根公式√x=(x+1)sin(arccos((x-1)/(x+1)))/2的正确性

嘿，这个把平方根和三角函数绑定的思路真的挺有创意的！咱们来一步步拆解验证这个公式到底是否成立：

首先，先把公式里的三角函数部分单独拎出来简化。令 $\theta = \arccos\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$，根据反余弦函数的定义，我们可以得到：
$$\cos\theta = \frac{x-1}{x+1}$$

接下来利用三角恒等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ 计算 $\sin\theta$（这里我们取非负根，因为反余弦函数的值域是 $[0, \pi]$，对应的正弦值非负）：
$$
\begin{align*}
\sin\theta &= \sqrt{1 - \cos^2\theta} \
&= \sqrt{1 - \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^2} \
&= \sqrt{\frac{(x+1)^2 - (x-1)^2}{(x+1)2}} \
&= \sqrt{\frac{(x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 2x + 1)}{(x+1)^2}} \
&= \sqrt{\frac{4x}{(x+1)^2}} \
&= \frac{2\sqrt{x}}{x+1}
\end{align*}
$$

现在把这个结果代回你给出的原公式：
$$
\begin{align*}
\frac{(x+1)\sin\left(\arccos\left(\frac{x-1}{x+1}\right)\right)}{2} &= \frac{(x+1) \cdot \frac{2\sqrt{x}}{x+1}}{2} \
&= \frac{2\sqrt{x}}{2} \
&= \sqrt{x}
\end{align*}
$$

补充说明 #

这个公式在 $x \geq 0$ 的范围内都是成立的：

• 当 $x > 0$ 时，$\frac{x-1}{x+1}$ 的取值范围是 $(-1, 1)$，完全在反余弦函数的定义域内；
• 当 $x = 0$ 时，代入原公式可得右边为 $\frac{(0+1)\sin(\arccos(-1))}{2} = \frac{\sin\pi}{2} = 0$，和 $\sqrt{0}$ 相等，同样成立。

不过正如你所说，这个公式确实没有实际计算价值——毕竟计算反余弦再取正弦的复杂度，远高于直接计算平方根，但作为一个把代数和三角函数结合的趣味推导，还是挺有意思的！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Kai