复动力系统：二次多项式q_c(z)=z²+c无穷远点稳定集问题求助

嘿，我来帮你把这两个复动力系统的问题理清楚，都是关于二次迭代映射q_c(z)=z^2+c的经典结论，一步步来证就好~

a) 证明：若$|z|\geq |c|$且$|z|>2$，则$|q_c(z)|>|z|$，且$z$属于无穷远点的稳定集 #

首先用三角不等式来估计模长：

• 对于q_c(z)=z²+c，根据三角不等式的反向形式，我们有：
  $$|q_c(z)| = |z^2 + c| \geq |z^2| - |c| = |z|^2 - |c|$$
• 题目给出条件$|z|\geq |c|$，所以把$|c|$替换成不大于它的$|z|$，就得到：
  $$|z|^2 - |c| \geq |z|^2 - |z| = |z|(|z| - 1)$$
• 又因为$|z|>2$，所以$|z|-1>1$，代入上式：
  $$|z|(|z| - 1) > |z| \times 1 = |z|$$
  这样就证得了$|q_c(z)|>|z|$。

接下来证明$z$属于无穷远点的稳定集（即迭代序列$q_c^n(z)$趋向$\infty$）：

• 我们已经得到$|q_c(z)|>|z|$，用归纳法推广到所有迭代次数：
  • 基例：$n=1$时，$|q_c^{1(z)|>|z|>2$，且$|q_c}1(z)|>|z|\geq|c|$，满足题目给的条件；
  • 假设$n=k$时，$|q_c^{k(z)|>|z|>2$且$|q_c}k(z)|\geq|c|$，那么$n=k+1$时，对$q_c^{k(z)$应用前面的结论，可得$|q_c}{k+1}(z)|=|q_c(q_c^k(z))|>|q_ck(z)|$。
• 这说明序列${|q_c^n(z)|}$是严格递增的正实数序列，且下界为2，没有上界，必然趋向于$\infty$，所以$z$属于无穷远点的稳定集。

b) 利用(a)的结论证明：若$|c|>2$，则$q_c^n(0)$趋于$\infty$ #

我们直接看初始点0的迭代过程：

• 第一次迭代：$q_c(0)=0^2 + c = c$，所以$|q_c(0)|=|c|$；
• 题目给出$|c|>2$，同时显然$|q_c(0)|=|c|\geq|c|$，这正好满足(a)中$z$需要满足的两个条件：$|z|\geq|c|$且$|z|>2$；
• 根据(a)的结论，$q_c(0)$属于无穷远点的稳定集，也就是说迭代序列$q_c^n(0)=q_c{n-1}(q_c(0))$会趋向于$\infty$，这就完成了证明。

另外补充一下教材里的思路：

教材示例提到令$|z|>|c|+1$来证明，这个思路是用更强的条件得到更“夸张”的模长增长：
$$|q(z)| \geq |z^2| - |c| \geq (|c|+1)^2 - |c| = |c|^2 + |c| + 1$$
显然这个结果远大于$|z|$，再用归纳法就能推出迭代趋向无穷，不过我们用题目给的条件更直接贴合问题要求~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mathbeginner