求某群的中心并求证SL(2, ℂ)的中心为±Id

嘿，我来一步步帮你搞定这两个问题：先理清寻找群中心的通用方法，再严格证明$SL(2, \mathbb{C})$的中心是$\pm Id$。

一、如何寻找一个群的中心 #

首先回顾群中心的定义：

群$G$的中心$C(G) = { g \in G : g\ast h = h \ast g \quad \forall h \in G }$
简单说就是群里和所有元素都能交换运算的元素集合。

寻找群中心的通用步骤：

• 先明确群的运算规则（比如矩阵群的运算就是矩阵乘法）
• 假设中心元素是该群的一般形式，利用“和任意元素可交换”的条件列方程
• 求解方程得到候选元素，再验证这些元素确实和所有元素可交换，最终确定中心

二、证明$SL(2, \mathbb{C})$的中心为$\pm Id$ #

$SL(2, \mathbb{C})$是所有行列式为1的2×2复矩阵构成的群，运算为矩阵乘法。我们分两步来证：

1. 先确认$\pm Id$属于中心 #

单位矩阵$Id = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \ \end{pmatrix}$和任意矩阵相乘都可交换，这是显然的；
对于$-Id = \begin{pmatrix} -1 & 0 \ 0 & -1 \ \end{pmatrix}$，对任意$A \in SL(2, \mathbb{C})$，有$(-Id)A = -A = A(-Id)$，所以它也和所有元素可交换。因此$\pm Id$肯定在$C(SL(2, \mathbb{C}))$里。

2. 证明中心里只有$\pm Id$ #

假设$M = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \ \end{pmatrix} \in C(SL(2, \mathbb{C}))$，那它必须和群里的任意元素可交换，尤其是提示里给的两个矩阵：
$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \ \end{pmatrix}$、$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 1 & 1 \ \end{pmatrix}$（这俩的行列式都是1，属于$SL(2, \mathbb{C})$）

第一步：用矩阵$A$推导约束条件

计算$MA$和$AM$：
$$
MA = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & a+b \ c & c+d \ \end{pmatrix}
$$
$$
AM = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \ c & d \ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+c & b+d \ c & d \ \end{pmatrix}
$$
因为$MA=AM$，对应位置元素相等：

• 第一行第一列：$a = a + c \implies c=0$
• 第一行第二列：$a+b = b+d \implies a=d$

现在$M$简化为$\begin{pmatrix} a & b \ 0 & a \ \end{pmatrix}$，又因为$M \in SL(2, \mathbb{C})$，行列式$\det(M)=a^2=1$，所以$a=1$或$a=-1$。

第二步：用矩阵$B$进一步约束

再计算$MB$和$BM$：
$$
MB = \begin{pmatrix} a & b \ 0 & a \ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 1 & 1 \ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+b & b \ a & a \ \end{pmatrix}
$$
$$
BM = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 1 & 1 \ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \ 0 & a \ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \ a & a+b \ \end{pmatrix}
$$
令$MB=BM$，对应元素相等：

• 第一行第一列：$a+b = a \implies b=0$

所以$b=0$，结合之前的$a=1$或$a=-1$，得到$M=Id$或$M=-Id$。

这就说明，$SL(2, \mathbb{C})$的中心里只有$\pm Id$这两个元素。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Trux