$e^{-in\theta}$收敛性及幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{z-i}\right)^n$敛散性疑问

问题1：$e^{-in\theta}$的有界性与条件收敛的疑问 #

首先得澄清一个核心概念：条件收敛是针对级数而言的，单个复数列$e^{-in\theta}$本身不存在“条件收敛”的说法。我们可以拆解成两个点来看：

• 关于有界性：这个数列确实是有界的，对任意整数$n$和实数$\theta$，$|e^{-in\theta}| = |\cos(n\theta) - i\sin(n\theta)| = 1$，所有项的模长都固定为1，完全满足有界的定义。
• 如果是想问级数$\sum_{n=1}^\infty e^{{-in\theta}$是否条件收敛？答案是否定的。因为级数收敛的必要条件是通项趋于0，但这个级数的通项$e}{-in\theta}$的模长始终是1，根本不趋于0，所以这个级数直接发散，既不绝对收敛也不条件收敛。

问题2：幂级数在收敛圆周上的敛散性 #

先理清楚这个幂级数的本质：$\sum_{n=0}^{{\infty} \left(\frac{2}{z-i}\right)}n$可以看成是关于$\frac{1}{z-i}$的等比级数，公比$r = \frac{2}{z-i}$。

当$|z-i|=2$时，$|r| = \left|\frac{2}{z-i}\right| = \frac{2}{|z-i|} = 1$，你代入$z=i+2e^{{i\theta}$的推导是完全正确的，原级数转化为$\sum_{n=0}}\infty e^{-in\theta}$（你写的是从$n=1$开始，其实原级数首项是1，但这并不影响敛散性判断）。

对于等比级数$\sum_{n=0}^\infty r^{n$，当$|r|=1$时，通项$r}n$的模长始终是1，不满足级数收敛的必要条件（通项趋于0），所以不管$\theta$取什么实数值，这个级数都发散。这也就意味着，在整个圆周$|z-i|=2$上，原级数对应的每一个点的级数都是发散的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ivanculet