如何将多角余弦乘积改写为仅含单角正弦余弦的表达式？

嘿，这个问题可以通过经典的二倍角正弦公式来巧妙解决，咱们一步步来拆解：

首先回忆二倍角公式：

$\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$

把它变形一下，就能得到余弦的表达式（注意$\sin\theta \neq 0$时成立）：
$$\cos\theta = \frac{\sin(2\theta)}{2\sin\theta}$$

步骤1：将乘积中的每一项用变形后的公式替换 #

你的乘积是：
$$\prod_{j=1}^n \cos(2^{n-j}x) = \cos x \cdot \cos(2x) \cdot \cos(4x) \cdot \dots \cdot \cos(2^{n-1}x)$$

我们把每一项都用上面的余弦变形式替换：

• $\cos x = \frac{\sin(2x)}{2\sin x}$
• $\cos(2x) = \frac{\sin(4x)}{2\sin(2x)}$
• $\cos(4x) = \frac{\sin(8x)}{2\sin(4x)}$
• ...
• $\cos(2^{n-1}x) = \frac{\sin(2^n x)}{2\sin(2^{n-1}x)}$

步骤2：望远镜乘积约分 #

把这些代入乘积后，你会发现中间的项可以全部约掉（这就是所谓的望远镜乘积，相邻项的分子分母相互抵消）：
$$
\begin{align*}
\prod_{k=0}^{n-1} \cos(2^k x) &= \frac{\sin(2x)}{2\sin x} \cdot \frac{\sin(4x)}{2\sin(2x)} \cdot \frac{\sin(8x)}{2\sin(4x)} \cdot \dots \cdot \frac{\sin(2^n x)}{2\sin(2^{n-1}x)} \
&= \frac{\sin(2^n x)}{2^n \sin x}
\end{align*}
$$

步骤3：验证与特殊情况 #

把这个结果代入你给出的等式$\sin²⁽²n x) = 4^n\sin2(x)\left(\prod_{j=1}^n \cos(2^{{n-j}x)\right)}2$，右边会变成：
$$4^n\sin2x \cdot \left(\frac{\sin(2^n x)}{2^n \sin x}\right)^2 = 4^n\sin2x \cdot \frac{\sin²⁽²n x)}{4^n \sin^2x} = \sin²⁽²n x)$$
和左边完全一致，说明这个推导是正确的。

如果$\sin x = 0$（即$x = k\pi, k\in\mathbb{Z}$），上面的分式是0/0型，但可以通过极限或者直接计算乘积得到结果：比如$x=0$时，乘积为$\cos0 \cdot \cos0 \cdot \dots \cdot \cos0 = 1$，而$\lim_{x\to0}\frac{\sin(2^n x)}{2^n \sin x} = 1$，所以这个表达式在极限意义下依然成立。

拓展：展开为仅含单角$\sin x$、$\cos x$的多项式 #

如果你需要把$\sin(2^n x)$展开成仅含单角的形式，可以用棣莫弗公式或者递归使用二倍角公式：

• 递归二倍角：$\sin(2^n x) = 2\sin(2^{{n-1}x)\cos(2}{n-1}x)$，一直展开到$\sin x$和$\cos x$，比如$\sin(4x)=4\sin x\cos x(2\cos^2x-1)$，$\sin(8x)=8\sin x\cos x(2\cos^2x-1)(8\cos4x-8\cos^2x+1)$等。
• 棣莫弗公式：利用$(\cos x + i\sin x)^{2n} = \cos(2^n x) + i\sin(2^n x)$，展开后取虚部，得到：
  $$\sin(2^n x) = \sum_{m=0}^{2{n-1}-1} (-1)^m \binom{2^n}{2m+1} \cos^{2n - 2m -1}x \sin^{2m+1}x$$

把这个代入$\frac{\sin(2^n x)}{2^n \sin x}$，就能得到仅含单角$\sin x$和$\cos x$的表达式了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user85362