求证：实矩阵A∈R^(m×n)有左逆当且仅当Rank(A)=n（补全后半证明）

你已经搞定了这个命题的一半推导：如果$A$有左逆$L$使得$LA=I_n$，那么$\text{Rank}(A)=n$（因为$\text{Rank}(LA)=\text{Rank}(I_n)=n$，而秩满足$\text{Rank}(LA) \leq \text{Rank}(A)$，同时$\text{Rank}(A) \leq n$，所以只能等于$n$）。现在我们来补全另一半：当$\text{Rank}(A)=n$时，$A$一定存在左逆。

下面给你两种常用的推导思路，都是线性代数里很经典的方法：

方法一：利用$A^T A$的可逆性 #

• 首先，当$\text{Rank}(A)=n$时，$A$是列满秩矩阵，也就是说它的$n$个列向量线性无关。此时$A^T A$是一个$n \times n$的方阵，我们可以证明$\text{Rank}(A^T A)=\text{Rank}(A)=n$：

  假设$A^T A x=0$，那么$x^T A^T A x=(Ax)^T Ax=|Ax|^{2=0$，所以$Ax=0$。因为$A$列满秩，$Ax=0$只有零解，因此$A}T A x=0$也只有零解，说明$A^T A$可逆。

• 接下来构造左逆：令$L=(A^T A)^{-1} A^T$，直接验证：

  LA = (A^T A)^{-1} A^T A = I_n
  

  完全满足左逆的定义，所以$L$就是$A$的一个左逆。

方法二：利用QR分解 #

• 列满秩矩阵$A$可以做QR分解，分解为$A=QR$，其中：
  • $Q \in \mathbb{R}^{m \times n}$是列正交矩阵，满足$Q^T Q=I_n$；
  • $R \in \mathbb{R}^{n \times n}$是可逆的上三角矩阵（因为$A$列满秩，$R$的秩也是$n$，所以可逆）。
• 构造左逆$L=R^{-1} Q^T$，验证：

  LA = R^{-1} Q^T QR = R^{-1} I_n R = R^{-1} R = I_n
  

  同样满足左逆的条件。

更基础的线性变换视角 #

如果从线性变换的角度理解：

• $A$对应的线性变换$T_A: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$是单射（因为列满秩，核空间只有零向量）。
• 我们可以把$T_A$的像空间（也就是$A$的列空间）扩展成$\mathbb{R}^m$的一组基，然后定义线性变换$T_L: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^{n$，使得$T_L$把$A$的每个列向量映射到$\mathbb{R}}n$的标准基向量，把扩展的基向量映射到零向量。
• 这个$T_L$对应的矩阵$L$就是$A$的左逆，因为$T_L \circ T_A$是$\mathbb{R}^n$上的恒等变换，对应矩阵乘法就是$LA=I_n$。

这样，我们就完成了双向的证明，命题成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者R.Y