求多维最优传输与瓦瑟斯坦距离已知闭式解的相关资源

刚好我对这块的资源还算熟悉，给你整理几个靠谱的学术资源，都是包含维度大于1的最优传输及瓦瑟斯坦距离已知解的：

• 经典专著/讲义：
  • Villani的《Optimal Transport: Old and New》绝对是领域内的圣经，里面专门有章节深入讲解多维场景下的已知闭式解。比如你提到的高斯分布对$\mathcal{N}_1(\mu_1, \Sigma_1)$和$\mathcal{N}_2(\mu_2, \Sigma_2)$，书中明确给出了2阶瓦瑟斯坦距离的闭式解：
    $$W_2^2(\mathcal{N}_1, \mathcal{N}_2) = |\mu_1 - \mu_2|^2 + \text{Tr}(\Sigma_1 + \Sigma_2 - 2(\Sigma_1^{{1/2}\Sigma_2\Sigma_1}{1/2})^{1/2})$$
    除此之外，椭球分布、凸集上均匀分布等场景的传输解也有详细推导和证明。
  • Peyré和Cuturi合著的《Computational Optimal Transport》虽然偏数值算法，但前几章专门梳理了多维闭式解的核心案例，针对常见概率分布的讲解非常直观，适合快速入门。
• 综述类论文：
  • 你提到的Kuang和Tabak (2017)的论文本身就总结了当时已有的多维最优传输闭式解，涵盖了指数分布、多面体上均匀分布等特殊分布对的结果，还讨论了这些解的适用边界和扩展方向。
  • Santambrogio的《Optimal Transport for Applied Mathematicians》是一篇非常全面的综述，其中有专门小节整理多维场景下的解析解，覆盖了从概率分布到几何应用的各类情况。
• 专题研究论文：
  • 如果聚焦高斯分布的细分场景，可以看《Wasserstein Distance Between Gaussian Measures》，这篇论文完整推导了不同阶数瓦瑟斯坦距离下的多维高斯解，还扩展到了带约束的传输问题。
  • 针对凸多面体间均匀分布的最优传输，《Optimal Transport Between Uniform Measures on Convex Polytopes》给出了闭式解的具体构造方法，细节做得很扎实。

另外，不少顶尖高校的最优传输研究生课程讲义也会系统性整理这些已知解，你可以通过学术数据库检索相关课程的配套论文或公开报告。

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