证明完全正则性是拓扑性质的论证过程完善与验证

咱们一步步来完成这个论证，核心思路就是利用同胚映射的双向连续性，把$X$的完全正则性质“传递”给$Y$：

• 前提设定：设$X$是完全正则空间，$h:X \rightarrow Y$是一个同胚映射（也就是双射，且$h$和它的逆映射$h^{-1}$都连续），我们的目标是证明$Y$也是完全正则空间。
• 任取验证对象：随便取$Y$的一个闭子集$C$，再取任意一点$y \in Y \setminus C$（也就是$y$不在闭集$C$里）。
• 对应到$X$中的元素与集合：因为$h$是双射，所以存在唯一的$x \in X$满足$h(x)=y$。而且$x$肯定不在$h^{{-1}(C)$里——要是$x$在$h}{-1}(C)$中，那$h(x)$就会属于$C$，这和$y \notin C$矛盾。
• 利用连续性得到$X$中的闭集：由于$h$是连续映射，而连续映射的一个关键性质是：闭集的原像也是闭集。所以$h^{-1}(C)$是$X$的闭子集。
• 调用$X$的完全正则性：因为$X$是完全正则空间，对于闭集$h^{-1}(C)$和不在其中的点$x$，根据完全正则的定义，存在一个连续映射$f:X \rightarrow [0,1]$，满足：
  • $f(x)=1$，
  • 对所有$z \in h^{-1}(C)$，$f(z)=0$。
• 构造$Y$上的连续映射：咱们定义$g = f \circ h^{-1}: Y \rightarrow [0,1]$。因为$h$是同胚，所以$h^{-1}$是连续映射，而两个连续映射的复合依然连续，所以$g$是$Y$到$[0,1]$的连续映射。
• 验证$g$满足完全正则的要求：
  • 计算$g(y)$：$g(y) = f(h^{-1}(y)) = f(x) = 1$，正好符合点的取值要求；
  • 对任意$z \in C$，$h^{-1}(z) \in h^{{-1}(C)$，所以$g(z)=f(h}{-1}(z))=0$，满足闭集上的取值要求。
• 结论：对于$Y$中任意闭集$C$和任意不在$C$中的点$y$，都存在这样的连续映射$g$，完全符合完全正则空间的定义，所以$Y$是完全正则空间。这就证明了完全正则性是拓扑性质（同胚的空间会共享这个性质）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jacob S.