微分方程$yy' + x = \sqrt{x^2 + y^2}$求解过程正确性验证

你的推导步骤完全正确！咱们拆解来看：

• 换元$v = x^2 + y^2$的思路非常巧妙，刚好把原方程里的$yy' + x$转化为$\frac{v'}{2}$，完美适配原方程的结构
• 分离变量后的积分计算也没出错：积分$\frac{dv}{\sqrt{v}}$确实得到$2\sqrt{v}$，右边积分$2dx$得到$2x + C$
• 代回$v$后的等式$2\sqrt{x^2 + y^2} = 2x + C$是正确的通解形式

接下来确实只需要解出$y$就能得到显式解，整理步骤如下：

1. 两边除以2，把常数项简化：$\sqrt{x^2 + y^2} = x + \frac{C}{2}$，可以把$\frac{C}{2}$替换成新的常数$C_1$（常数的线性组合仍是常数，形式更简洁），即$\sqrt{x^2 + y^2} = x + C_1$
2. 两边平方消去根号：$x^2 + y^2 = (x + C_1)^2 = x^2 + 2C_1x + C_1^2$
3. 消去$x^{2$后整理：$y}2 = 2C_1x + C_1^2$
4. 最后开方得到显式解：$y = \pm\sqrt{2C_1x + C_1^2}$

这里需要留意定义域细节：根号内的表达式必须非负，且原方程中$\sqrt{x^2 + y^2}$是非负的，因此$x + C_1 \geq 0$。你也可以代入特殊值（比如$C=0$）回原方程验证，进一步确认解的正确性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Stuy