给定迭代函数g，证明集合Γ为康托尔三分集的技术问题
我来帮你梳理这个问题的完整解法思路，一步步拆解清楚：
问题回顾
首先明确我们要研究的分段函数：
$$g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad g(x) = \left{ \begin{array}{ll} 3x & \mbox{if } x \leq\frac{1}{2} \ 3-3x & \mbox{if } x>\frac{1}{2} \end{array} \right.$$
需要证明集合 $\Gamma={x\in[0,1] \mid g^n(x)\in[0,1] \forall n\in\mathbb{N}^*}$ 就是经典的康托尔三分集。
你已经发现的结论非常关键：若$x>1$或$x<0$，轨道会直接发散到$-\infty$，这让我们可以把分析范围完全聚焦在$[0,1]$区间内的点上。
完整解法思路
1. 从第一次迭代看区间的筛选
先观察$g(x)$在$[0,1]$上的映射效果：
- 当$x\in[0,1/2]$时，$g(x)=3x$：这个操作是把$[0,1/2]$拉伸3倍，映射到$[0, 3/2]$。但我们只关心映射后仍在$[0,1]$的点，也就是$3x\in[0,1]$，对应$x\in[0,1/3]$；
- 当$x\in(1/2,1]$时，$g(x)=3-3x$：这是翻转+拉伸3倍的操作，把$(1/2,1]$映射到$[0, 3/2)$。同样只保留映射后在$[0,1]$的点，即$3-3x\in[0,1]$，对应$x\in[2/3,1]$。
所以第一次迭代后，满足$g(x)\in[0,1]$的点构成集合 $C_1=[0,1/3]\cup[2/3,1]$——这正好是康托尔三分集构造的第一步：去掉了中间的开区间$(1/3,2/3)$。
2. 归纳法推广到第n次迭代
我们用归纳法证明：**第$k$次迭代后，所有满足$gk(x)\in[0,1]$的$x\in[0,1]$，恰好是康托尔三分集构造到第$k$步的集合$C_k$**（$C_k$是$2k$个长度为$1/3^k$的闭区间的并）。
- 基例：$k=1$时，$C_1$就是我们刚才得到的$[0,1/3]\cup[2/3,1]$，成立；
- 归纳假设：假设第$k$次迭代后，满足$g^k(x)\in[0,1]$的点是$C_k$；
- 归纳步骤：要满足$g{k+1}(x)\in[0,1]$，等价于$gk(x)\in C_1$（因为$g(y)\in[0,1]$当且仅当$y\in C_1$）。也就是说，我们需要找$C_1$在$g$下的原像$g^{-1}(C_1)$：
- 对$C_1$中的$[0,1/3]$，原像是$x\in[0,1/9]\cup[8/9,1]$（分别对应$3x\in[0,1/3]$和$3-3x\in[0,1/3]$的解）；
- 对$C_1$中的$[2/3,1]$，原像是$x\in[2/9,1/3]\cup[2/3,7/9]$（分别对应$3x\in[2/3,1]$和$3-3x\in[2/3,1]$的解）。
把这些区间合并，得到的$g^{-1}(C_1)$就是康托尔三分集的第$k+1$步集合$C_{k+1}$。
而$\Gamma$的定义是**对所有$n$，$gn(x)\in[0,1]$**，也就是$\Gamma=\bigcap_{n=1}{\infty}C_n$——这正是康托尔三分集的定义（所有构造步骤集合的交集）。
3. 用三进制表示验证（另一种视角）
康托尔三分集的等价定义是：$[0,1]$中所有可以用不包含数字1的三进制表示的数。我们可以把$g(x)$的迭代和三进制表示关联起来：
- 若$x$的三进制是$0.a_1a_2a_3\cdots_3$：
- 如果$a_1=0$，则$x\in[0,1/3]$，$g(x)=3x=0.a_2a_3a_4\cdots_3$（去掉第一位三进制数字）；
- 如果$a_1=2$，则$x\in[2/3,1]$，$g(x)=3-3x=0.(2-a_2)(2-a_3)\cdots_3$（翻转后面的三进制数字，但仍不含1）；
- 若$x$的三进制表示中出现数字1，那么第一次出现1的位置为$k$，此时$g{k-1}(x)$会落在$(1/3,2/3)$区间内，下一次迭代$gk(x)$就会超出$[0,1]$（比如$g{k-1}(x)\in(1/3,1/2)$时，$gk(x)=3g^{k-1}(x)\in(1, 3/2)$；$g{k-1}(x)\in(1/2,2/3)$时，$gk(x)=3-3g^{k-1}(x)\in(1, 3/2)$），这样的点就不属于$\Gamma$。
这就从三进制的角度再次验证了$\Gamma$和康托尔三分集完全等价。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者Wolfgang
