上半平面函数Im(f(z))近似表达式推导难题求助

首先，我们可以利用$f(z)$的一个关键恒等式来简化问题，比直接展开泰勒级数更高效：

由 $w = f(z) = \frac{-z + \sqrt{z^2 - 4}}{2}$，通过代数变形（两边乘2、移项后平方化简）可得：
$$z = -\left(w + \frac{1}{w}\right)$$
这个恒等式能帮我们绕开复杂的平方根运算，直接分析虚部的渐近行为。

接下来针对你提到的场景：$z = a + ib$，$|a| \leq 2$，且$k = ||a| - 2|$和$b$均为小量（该近似仅在这个渐近场景下成立），分两种情况推导：

情况1：$a > 0$（即$a = 2 - k$，$k \geq 0$且为小量） #

此时$z = (2 - k) + ib$，先计算$z^2 - 4$的渐近形式（忽略高阶小量$k^2, b^2, 2kib$）：
$$z^2 - 4 \approx -4k + 4ib$$

设$\sqrt{z^2 - 4} = x + iy$（因$f(z)$定义在上半平面，取平方根的上半分支，即$y > 0$），平方后分离实虚部得到联立方程：
$$\begin{cases}
x^2 - y^2 = -4k \
2xy = 4b \implies xy = 2b
\end{cases}$$

将$x = \frac{2b}{y}$代入第一个方程，得到关于$y^2$的四次方程：
$$y^4 - 4ky^2 - 4b^2 = 0$$

取正根（因$y^2 > 0$）解得：
$$y^2 = 2k + 2\sqrt{k^2 + b^2}$$

现在计算$Im(f(z))$：
$$Im(f(z)) = Im\left(\frac{-z + \sqrt{z^2 - 4}}{2}\right) = \frac{y - b}{2}$$

当$k, b \to 0$时，$b$相对于$\sqrt{k+b}$可忽略，对$y$做渐近简化：

• 若$b = 0$（$z$靠近实轴上的2），则$y = 2\sqrt{k}$，代入得$Im(f(z)) = \sqrt{k} = \sqrt{k + b}$；
• 若$k = 0$（$z$靠近实轴上$[0,2]$区间的上半平面），则$y \approx \sqrt{2b}$，$Im(f(z)) \approx \sqrt{\frac{b}{2}}$，与$\sqrt{b}$同阶；
• 当$k$和$b$同阶时，$y$与$\sqrt{k+b}$同阶，忽略常数系数后即可得到$Im(f(z)) \approx \sqrt{k+b}$。

情况2：$a < 0$（即$a = -2 + k$，$k = 2 - |a|$且为小量） #

此时$z = (-2 + k) + ib$，类似地计算$z^2 -4 \approx -4k -4ib$，设$\sqrt{z^2-4}=x+iy$（$y>0$），联立方程后会得到和$a>0$时完全一致的$y$表达式，最终$Im(f(z))$的渐近行为同样满足$\approx \sqrt{k+b}$。

本质上，这个近似是同阶渐近等价，忽略了常数系数，符合你所说的“忽略常数项”的要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者JohnKnoxV