$\mathbb{P}_2$张成子空间基求解及全空间基扩展技术咨询

嘿，我来帮你把这个问题拆解清楚！先给你一套通用求解步骤，再逐个解决(a)(b)(c)的例子，这样你以后遇到类似问题也能轻松上手～

通用求解方法 #

因为$\mathbb{P}_2$（次数不超过2的多项式空间）和$\mathbb{R}^3$是同构的——每个多项式$a + bx + cx^{2$都可以对应到$\mathbb{R}}3$中的向量$(a, b, c)$，所以我们可以把多项式的问题转化为熟悉的向量组问题：

1. 多项式转向量：把每个待处理的多项式，按照常数项、$x$项系数、$x^{2$项系数的顺序，转换成$\mathbb{R}}3$中的向量；
2. 找线性无关组：把这些向量拼成矩阵，通过行阶梯形化简找出主元列，主元列对应的原多项式就是子空间的一组基；
3. 扩展为全空间基：如果子空间的基向量个数小于3（$\mathbb{P}_2$的维数是3），就从$\mathbb{P}_2$的标准基${1, x, x^2}$里挑选不在该子空间中的向量，加入到基里，直到凑够3个线性无关的向量。

(a) 多项式组：$p_1 = -1 + x - 2x^2, p_2 = 3 + 3x + 6x^2, p_3 = 9$ #

首先把多项式转成向量：

• $p_1$对应：$(-1, 1, -2)$
• $p_2$对应：$(3, 3, 6)$
• $p_3$对应：$(9, 0, 0)$

把这些向量作为行拼成矩阵，做行阶梯形化简：

# 初始矩阵
[-1  1  -2]
[ 3  3   6]
[ 9  0   0]

# 行变换步骤：
1. 第一行乘-1 → [1 -1 2]
2. 第二行 = 第二行 - 3*第一行 → [0 6 0]
3. 第三行 = 第三行 - 9*第一行 → [0 9 -18]
4. 第二行除以6 → [0 1 0]
5. 第三行 = 第三行 - 9*第二行 → [0 0 -18]
6. 第三行除以-18 → [0 0 1]

最终行阶梯形有3个主元，说明这三个多项式线性无关，因此${p_1, p_2, p_3}$就是该子空间的基，且这个子空间就是整个$\mathbb{P}_2$。

(b) 多项式组：$p_1 = 1 + x, p_2 = x, p_3 = −2 + 2x, p_4 = −3x$ #

转成向量：

• $p_1$对应：$(1, 1, 0)$
• $p_2$对应：$(0, 1, 0)$
• $p_3$对应：$(-2, 2, 0)$
• $p_4$对应：$(0, -3, 0)$

拼成矩阵后做行阶梯形化简：

# 初始矩阵
[1  1  0]
[0  1  0]
[-2 2  0]
[0 -3  0]

# 行变换步骤：
1. 第三行 = 第三行 + 2*第一行 → [0 4 0]
2. 第四行 = 第四行 + 3*第二行 → [0 0 0]
3. 第三行除以4 → [0 1 0]

行阶梯形的主元列是第1、2列，对应原多项式$p_1$和$p_2$，这两个就是子空间的基（维数为2）。
要扩展成$\mathbb{P}_2$的基，我们可以加入标准基里的$x^2$（它对应的向量$(0,0,1)$不在之前的子空间里），最终的全空间基为${p_1, p_2, x^2}$。

(c) 多项式组：$p_1 = 1 + x − 3x^2, p_2 = 2 + 2x − 6x^2, p_3 = 3 + 3x − 9x^2$ #

转成向量后你会发现：

• $p_2$是$p_1$的2倍，$p_3$是$p_1$的3倍，三个向量线性相关。
  做行阶梯形化简后只会有1个主元列，对应$p_1$，所以子空间的基就是${p_1}$。
  要扩展成$\mathbb{P}_2$的基，我们可以加入标准基里的$x$和$x^2$（它们都和$p_1$线性无关），最终的全空间基为${p_1, x, x^2}$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Chloe Pattison