给定输入输出映射集，求对应算法及正确公式（含自拟公式验证）

首先咱们先测试你给出的公式 $\LARGE\boxed{2^{\lfloor\log_2(x)\rfloor}}$，看看它和输入输出集的匹配情况：

• 当x=0时，$\log_2(0)$ 是未定义的，公式无法计算，但输入0对应的输出是1，不匹配；
• 当x=1时，$\lfloor\log_2(1)\rfloor=0$，$2^0=1$，但实际输出是2，不匹配；
• 当x=2时，$\lfloor\log_2(2)\rfloor=1$，$2^1=2$，但实际输出是4，也不匹配。

所以这个公式和给定的输入输出集不相符，咱们来重新推导正确的公式：

先梳理输入输出的规律：

• x=0 → 1 = 2⁰
• x=1 → 2 = 2¹
• x=2~3 → 4 = 2²
• x=4~7 → 8 = 2³
• x=8~15 → 16 = 2⁴

可以发现，所有输入对应的输出都是大于x的最小2的正整数次幂（x=0时，大于0的最小2的幂就是1）。用数学公式可以统一表示为：
$$\LARGE\boxed{2^{\lceil\log_2(x+1)\rceil}}$$

咱们逐个验证所有输入：

• x=0：$\lceil\log_2(0+1)\rceil=\lceil\log_2(1)\rceil=0$，$2^0=1$，匹配；
• x=1：$\lceil\log_2(1+1)\rceil=\lceil1\rceil=1$，$2^1=2$，匹配；
• x=2：$\lceil\log_2(2+1)\rceil=\lceil1.584...\rceil=2$，$2^2=4$，匹配；
• x=3：$\lceil\log_2(3+1)\rceil=\lceil2\rceil=2$，$2^2=4$，匹配；
• x=4：$\lceil\log_2(4+1)\rceil=\lceil2.321...\rceil=3$，$2^3=8$，匹配；
• x=7：$\lceil\log_2(7+1)\rceil=\lceil3\rceil=3$，$2^3=8$，匹配；
• x=8：$\lceil\log_2(8+1)\rceil=\lceil3.169...\rceil=4$，$2^4=16$，匹配；
• x=15：$\lceil\log_2(15+1)\rceil=\lceil4\rceil=4$，$2^4=16$，匹配。

这个公式完美覆盖了所有输入输出的情况！

如果用编程场景下的位运算来实现（更高效），也可以写成：

• 当x=0时，输出1；
• 当x≥1时，输出 1 << (floor(log2(x)) + 1)，这和上面的数学公式是完全等价的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Neji Soltani