求线性算子T(p(x))=p(x)+p'(x)的行列式det(T)

你选的基$B={1,x,x^2,...,xn}$完全没问题，咱们接着把行列式算出来——其实你已经走到最后一步啦，只差一个关键的矩阵行列式性质！

第一步：确认矩阵的结构 #

先把你推导的矩阵再明确一下（维度是$(n+1)\times(n+1)$，对应$\mathbb{R}n$的$n+1$维空间）：
$$
[T]B=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \
0 & 1 & 2 & 0 & \dots & 0 \
0 & 0 & 1 & 3 & \dots & 0 \
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
0 & 0 & 0 & 0 & \dots & n \
0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \
\end{pmatrix}
$$
这个矩阵是上三角矩阵——主对角线下方的所有元素全为0，主对角线上的元素都是1，只有主对角线右上方的$a{0,1}=1$、$a{1,2}=2$、...、$a_{n-1,n}=n$这些位置有非零值。

第二步：计算行列式 #

线性代数里有个核心性质：上三角矩阵（或下三角矩阵）的行列式等于其主对角线所有元素的乘积。不管主对角线外的非零元素是什么，只要下方（上三角）或上方（下三角）全是0，行列式就只看主对角线。

咱们这个矩阵的主对角线元素全是1，一共$n+1$个1相乘，结果就是$1\times1\times\cdots\times1=1$。

额外验证：用特征值法确认 #

换个角度推导，让结论更扎实：算子$T$可以拆成$T=I+D$，其中$I$是恒等算子，$D$是求导算子。

求导算子$D$是幂零算子——对次数≤$n$的多项式求$n+1$次导必然得到0，也就是$D^{n+1}=0$，而幂零算子的所有特征值都是0。

因为$I$和$D$可交换（$ID=DI$），所以$T=I+D$的特征值就是$I$的特征值加$D$的特征值：$1+0=1$。$T$作为$n+1$维空间的算子，有$n+1$个特征值（重数计入），全是1，而行列式等于所有特征值的乘积，所以$\det(T)=1^{n+1}=1$。

两种方法得到的结果一致，完全没问题。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者rcoder