除数和函数渐近行为启发式分析及余项f₁(n)相关问题问询

算力阿峰

2026-5-19

关于除数和函数σ(n)的渐近行为问题

设$\sigma(n)$为除数和函数，先梳理下相关的核心结论，再聊聊你关注的问题：

背景结论

格伦沃尔（Gronwall）定理：
$$\limsup_{n \to \infty} \frac{\sigma(n)}{n \log \log{n}} =e^\gamma$$
这里的$\gamma$是欧拉-马歇罗尼常数，这个定理告诉我们，$\frac{\sigma(n)}{n \log \log{n}}$的上极限恰好是$e^{\gamma$——也就是说存在无穷多个$n$，能让这个比值无限接近$e}\gamma$。
黎曼假设等价的罗宾不等式：
黎曼假设成立的充要条件是，对所有$n>5040$，都有：
$$\frac{\sigma(n)}{n \log \log{n}} <e^\gamma$$
这个不等式把格伦沃尔定理的上极限，和所有足够大的$n$的取值范围绑定在了一起，是数论领域里非常关键的等价命题。

接下来是你提到的这个等式：
$$\sigma(n)-e^\gamma n \log \log{n}= O(f_1(n))$$
针对这个式子的两个问题，我整理下目前学界的研究情况：

目前还没有找到确定的、最优的$f_1(n)$形式，但有一些已有的研究结果和方向：

如果假设黎曼假设成立，有研究者证明可以取$f_1(n)=n \exp\left(-c (\log n)^{3/5 - \epsilon}\right)$（其中$c>0$，$\epsilon$是任意小的正数），这个界是通过对罗宾不等式的误差项做精细解析分析得到的。
不假设黎曼假设的话，已知的结果就要弱很多，目前只能得到一些更宽松的上界，比如$f_1(n)=n (\log \log n)^k$（$k$是某个大于0的常数），但这显然不是最优的估计。
另外，格伦沃尔定理里逼近上极限的那些$n$，都是高度合数或者类似的“除数密集”数，这类数的误差项表现和普通整数不同，这也给确定统一的$f_1(n)$带来了不小的难度。

当然有，咱们分两种类型来看：

基于黎曼假设的论证：利用黎曼ζ函数的零点分布性质，结合除数和函数的解析表达式（$\sigma(n) = n \sum_{d|n} \frac{1}{d}$，这个求和式可以和ζ函数的导数建立联系），通过对误差项的积分估计，就能推导出上面提到的指数型衰减的误差界。
无条件的论证：通过对除数和函数的平均阶、极端值的分析——比如用狄利克雷双曲线法或者筛法技术——可以得到一些较弱但无需额外假设的误差界，不过这些论证的精度远不如黎曼假设下的结果。

从高度合数的性质出发：高度合数是指比所有更小的数都拥有更多除数的数，这类数的$\sigma(n)/n$值特别大，格伦沃尔定理的上极限就是由这类数逼近出来的。分析高度合数的素因子分解结构，能启发式地猜测误差项的衰减速度——比如高度合数的$\sigma(n)/n$与$e^\gamma \log \log n$的差距，应该会随着$n$增大而指数级缩小，这也支撑了黎曼假设下的误差界形式。
类比其他数论函数的误差项：比如欧拉函数$\phi(n)$有类似的渐近式$\phi(n) \sim n / e^\gamma \log \log n$，它的误差项研究思路和$\sigma(n)$非常相似，这种跨函数的类比也能给$\sigma(n)$的误差项分析提供不少启发。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user3141592