纯剪切状态下，给定特定应力张量如何求解主应力及主方向？

没问题，咱们一步步来拆解这个应力状态的主应力和主方向求解过程，先从主应力说起：

一、主应力求解 #

你已经推导得到了特征方程：

σ³ - 3τ²σ - 2τ³ = 0

这是三次代数方程，用因式分解法就能快速求解：

1. 先试根：把σ=2τ代入方程左边，计算得：
   (2τ)³ - 3τ²*(2τ) - 2τ³ = 8τ³ - 6τ³ - 2τ³ = 0，说明σ-2τ是方程的一个因式。
2. 对原多项式进行因式分解：

   σ³ - 3τ²σ - 2τ³ = (σ - 2τ)(σ² + 2τσ + τ²) = (σ - 2τ)(σ + τ)² = 0
   

3. 提取根：
   方程的三个根为σ₁=2τ，σ₂=σ₃=-τ——这就是该应力状态下的三个主应力。

这里两个主应力相等（σ₂=σ₃），对应了你提到的莫尔圆特殊情况：在垂直于σ₁主方向的平面内，所有方向的应力状态完全一致，莫尔圆因此退化为一个点（该平面内不存在剪应力变化）。

二、主方向求解 #

主方向是满足(σI - [σ])·n = 0的单位向量n=(n₁,n₂,n₃)，其中I是单位矩阵，[σ]是给定的应力张量。我们分两种主应力情况分别求解：

1. 对应主应力σ₁=2τ的主方向 #

代入构造线性方程组（两边除以τ，τ≠0）：

2n₁ - n₂ - n₃ = 0
-n₁ + 2n₂ - n₃ = 0
-n₁ - n₂ + 2n₃ = 0

解这个方程组：

• 前两个方程相减得3n₁ - 3n₂ = 0，即n₁=n₂；
• 代入第一个方程得2n₁ - n₁ - n₃ = 0，即n₁=n₃；
• 因此n₁=n₂=n₃，单位化后得到主方向向量：
  (1/√3, 1/√3, 1/√3)——也就是沿空间立方体对角线的方向。

2. 对应主应力σ₂=σ₃=-τ的主方向 #

代入构造线性方程组（两边除以-τ）：

n₁ + n₂ + n₃ = 0

这是一个平面方程，说明所有垂直于(1,1,1)方向的单位向量都是该主应力对应的主方向。简单来说，在垂直于σ₁主方向的平面内，任意方向都是主方向（因为该平面内无剪应力，所有方向的正应力都等于-τ）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Raptor