求算子$T: l_2(\mathbb{N}) \to l_2(\mathbb{N})$的谱、点谱等各类谱

我来一步步拆解这个问题，先从算子的基本性质入手，再逐个分析各类谱：

一、确认$T$是自伴算子 #

首先明确算子定义：
$$Tx = \left( \frac{n-1}{n+1} x_n \right){n \in \mathbb{N}}$$
其中$x = (x_n){n \in \mathbb{N}} \in l_2(\mathbb{N})$。

对任意$x,y \in l_2(\mathbb{N})$，计算内积：
$$\langle Tx,y\rangle = \sum_{n=1}^\infty \frac{n-1}{n+1}x_n \overline{y_n} = \sum_{n=1}^\infty x_n \overline{\frac{n-1}{n+1}y_n} = \langle x,Ty\rangle$$
由此可得$T=T^*$，即$T$是自伴算子。自伴算子有个关键性质：它的剩余谱$\sigma_r(T)$一定是空集，这一点我们后面可以直接用。

二、计算点谱$\sigma_p(T)$ #

点谱是满足方程$Tx = \lambda x$存在非零解$x \in l_2(\mathbb{N})$的所有$\lambda$。

把算子代入分量方程，对每个$n \in \mathbb{N}$有：
$$\frac{n-1}{n+1}x_n = \lambda x_n$$
这意味着对每个$n$，要么$x_n=0$，要么$\lambda = \frac{n-1}{n+1}$。

• 对任意固定的$k \in \mathbb{N}$，取$\lambda_k = \frac{k-1}{k+1}$，构造非零解：令$x$的第$k$个分量为1，其余分量为0，这个$x$显然属于$l_2(\mathbb{N})$，且满足$Tx = \lambda_k x$，所以$\lambda_k$属于点谱。
• 如果$\lambda$不等于任何一个$\frac{n-1}{n+1}$，那么方程只有零解，$\lambda$不在点谱中。

特别地，当$n=1$时，$\frac{1-1}{1+1}=0$，所以0也是点谱的元素。

最终点谱为：
$$\sigma_p(T) = \left{ \frac{n-1}{n+1} \mid n \in \mathbb{N} \right} = \left{ 0, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{3}{5}, \dots \right}$$

三、计算连续谱$\sigma_c(T)$ #

连续谱的判定条件（针对自伴算子）是：$\lambda \notin \sigma_p(T)$，且$T - \lambda I$的值域在$l_2(\mathbb{N})$中稠密，同时$T - \lambda I$没有有界逆算子。

首先看$\sigma_p(T)$的闭包：当$n \to \infty$时，$\frac{n-1}{n+1} \to 1$，且$\sigma_p(T)$的元素从0开始，逐渐逼近1，在区间$[0,1]$上稠密，因此$\sigma_p(T)$的闭包是$[0,1]$，而自伴算子的谱$\sigma(T)$等于点谱的闭包，所以$\sigma(T)=[0,1]$。

接下来分析连续谱：

• 对于$\lambda \in [0,1]$且$\lambda \notin \sigma_p(T)$：
  1. 因为$\lambda$不在点谱中，$T - \lambda I$是单射；
  2. 自伴算子的$T - \lambda I$的值域正交补是$(T - \overline{\lambda}I)$的零空间，而$\lambda$是实数，所以正交补为空集，值域稠密；
  3. 逆算子$(T - \lambda I)^{-1}$的作用是将$y=(y_n)$映射为$\left( \frac{y_n}{\frac{n-1}{n+1} - \lambda} \right)$，由于$\lambda$是$\sigma_p(T)$的聚点（或者就是端点1），存在无穷多个$n$使得$\frac{n-1}{n+1}$无限接近$\lambda$，此时$\frac{1}{\frac{n-1}{n+1} - \lambda}$的绝对值趋向无穷，导致逆算子无界。

因此连续谱就是$[0,1]$中去掉点谱的所有元素，包括端点1（因为1不在点谱中）：
$$\sigma_c(T) = [0,1] \setminus \sigma_p(T)$$

四、剩余谱$\sigma_r(T)$ #

如前文所述，自伴算子的剩余谱为空集，因此：
$$\sigma_r(T) = \emptyset$$

最终结论 #

• 谱：$\sigma(T) = [0,1]$
• 点谱：$\sigma_p(T) = \left{ \frac{n-1}{n+1} \mid n \in \mathbb{N} \right}$
• 连续谱：$\sigma_c(T) = [0,1] \setminus \sigma_p(T)$
• 剩余谱：$\sigma_r(T) = \emptyset$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Diglett