求证：当a+b+c=1且a,b,c>0时，$rac{a}{a+b}+rac{b}{b+c}+rac{c}{c+a}≥rac{3}{2}$是否成立？

问题1：当$a+b+c=1$时，$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}≥\frac{3}{2}$是否成立？ #

答案是不成立，我们可以找到明确的反例：

取$a=-1$，$b=2$，$c=0$，显然满足$a+b+c=-1+2+0=1$，代入左边计算：
$$
\frac{-1}{-1+2} + \frac{2}{2+0} + \frac{0}{0+(-1)} = -1 + 1 + 0 = 0
$$
显然$0 < \frac{3}{2}$，因此该不等式在仅满足$a+b+c=1$（允许变量非正）的情况下，并不总是成立。

问题2：当$a+b+c=1$且$a,b,c>0$时，能否证明$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}≥\frac{3}{2}$成立？ #

当然可以证明，这是经典Nesbitt不等式的变形，我们用排序不等式+均值不等式就能轻松推导：

假设$a≥b≥c>0$，此时不难看出$\frac{1}{a+b} ≤ \frac{1}{a+c} ≤ \frac{1}{b+c}$。根据排序不等式，我们可以得到两个关系式：
$$
\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} ≥ \frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}
$$
$$
\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} ≥ \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}
$$

将这两个式子左右两边分别相加，左边得到：
$$
2\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\right)
$$

右边整理后可得：
$$
\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{c+a}\right) + \left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+b}\right) + \left(\frac{c}{b+c}+\frac{a}{b+c}\right) = \frac{a+b}{a+c} + \frac{b+c}{a+b} + \frac{a+c}{b+c}
$$

令$x=\frac{a+b}{a+c}$，$y=\frac{b+c}{a+b}$，$z=\frac{a+c}{b+c}$，显然$x,y,z>0$且$xyz=1$。根据均值不等式（AM≥GM），$x+y+z≥3\sqrt[3]{xyz}=3$，因此：
$$
2\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\right) ≥ 3
$$

两边同时除以2，就得到：
$$
\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}≥\frac{3}{2}
$$

等号当且仅当$x=y=z$，即$a=b=c=\frac{1}{3}$时成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Brain123