满射映射的等价性验证及单串行左R-模自同态满射性问题

嗨，咱们先把满射映射的等价性掰扯清楚，再来看你问的那个单串行模自同态的问题～

满射的等价刻画会根据所在的范畴略有不同，咱们分两类场景说：

集合范畴里的满射等价条件 #

对于集合之间的映射 ( f: X \to Y )，下面这些说法是完全等价的：

• 最直接的定义：( f ) 是满射——不管 ( Y ) 里拿哪个元素 ( y )，总能在 ( X ) 里找到对应的 ( x ) 让 ( f(x)=y )
• 右消去性：假设你有个集合 ( Z )，还有两个从 ( Y ) 到 ( Z ) 的映射 ( g_1, g_2 )，如果 ( g_1 \circ f = g_2 \circ f )（也就是先过 ( f ) 再走 ( g_1 ) 和 ( g_2 ) 结果一样），那一定有 ( g_1 = g_2 )
• 存在右逆映射：能找到一个从 ( Y ) 回 ( X ) 的映射 ( h )，让 ( f \circ h = \text{id}_Y )（也就是先 ( h ) 再 ( f ) 能还原 ( Y ) 里的所有元素）——注意哦，这个等价性只在集合范畴里成立，换到模范畴这类结构里，有右逆的满同态是「分裂满射」，比普通满同态要求更高
• 没法把 ( f ) 拆成“先映射到一个比 ( Y ) 大的集合 ( Z )，再从 ( Z ) 包含进 ( Y )”——也就是说 ( Y ) 已经是 ( f ) 能到的最大集合了

模范畴里的满同态等价条件 #

换到左 ( R )-模的同态 ( f: M \to N )，满同态的等价条件变成这些：

• 最直接的：( f ) 是满同态——( f ) 的像刚好等于整个 ( N )（( \text{Im}(f) = N )）
• 右正合性：对任意左 ( R )-模 ( L )，从 ( \text{Hom}_R(N, L) ) 到 ( \text{Hom}_R(M, L) ) 的诱导映射是单射——其实这就是集合范畴右消去性的模版本
• 余核为零：( N ) 除以 ( f ) 的像等于零模（( \text{Coker}(f) = N / \text{Im}(f) = 0 )）
• 只要有个从 ( N ) 到 ( L ) 的同态 ( g ) 满足 ( g \circ f = 0 )，那 ( g ) 一定是零同态

先明确下术语：单串行左 ( R )-模指的是既是单模（只有0和自身两个子模）又是串行模（子模的包含关系是全序的，也就是常说的单列模）的左 ( R )-模。其实单模本身天然就是串行模，因为它的子模只有两个，肯定是全序的。咱们分两种情况聊：

情况1：( M ) 是单模 #

根据Wedderburn-Artin定理，单模的自同态环 ( \text{End}_R(M) ) 是个除环——简单说就是所有非零元素都可逆。而且单模上的满同态其实就是自同构：因为满同态的核是 ( M ) 的子模，要么是0要么是 ( M )；如果核是 ( M )，那这个同态就是零映射，根本不可能是满射，所以满同态的核只能是0，也就是单同态，自然就是自同构了。

在除环里，( \alpha\beta ) 可逆（也就是满射）当且仅当 ( \alpha ) 和 ( \beta ) 都可逆（都是满射）：

• 如果 ( \alpha, \beta ) 都可逆，那 ( \alpha\beta ) 的逆元就是 ( \beta^{-1}\alpha{-1} )，肯定可逆；
• 如果 ( \alpha\beta ) 可逆，那 ( \alpha ) 有右逆 ( \beta(\alpha\beta)^{-1} )，( \beta ) 有左逆 ( (\alpha\beta)^{-1}\alpha )；除环里只要有左逆或者右逆，就一定有完整的逆元，所以 ( \alpha, \beta ) 都可逆。

所以这种情况下，你的结论成立。

情况2：( M ) 是单列模（串行模）但不是单模 #

单列模的自同态环是局部环——所有不可逆元素凑在一起是唯一的极大理想。而且满同态有个特点：如果 ( \alpha ) 是满同态，那它的像就是整个 ( M )；就算它不是自同构（比如可除单列模 ( \mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p ) 上乘以 ( p ) 的同态，是满射但不是单射），它的像还是 ( M )。

现在看 ( \alpha\beta ) 是满射的条件：

• 如果 ( \alpha, \beta ) 都是满射，那 ( \alpha\beta(M) = \alpha(\beta(M)) = \alpha(M) = M )，显然是满射；
• 如果 ( \alpha\beta ) 是满射，那 ( \alpha(\beta(M)) = M )：
  • 首先 ( \alpha ) 必须是满射：因为 ( \alpha ) 的像要包含整个 ( M )，那它的像只能是 ( M )；
  • 其次 ( \beta ) 必须是满射：假设 ( \beta(M) ) 是 ( M ) 的真子模，因为单列模的子模是全序的，那 ( \beta(M) ) 肯定包含在某个真子模 ( N ) 里，那 ( \alpha(\beta(M)) ) 也会包含在 ( \alpha(N) ) 里，而 ( \alpha(N) ) 是 ( M ) 的真子模（满射作用在真子模上还是真子模），这就和 ( \alpha\beta(M)=M ) 矛盾了，所以 ( \beta(M) ) 只能是 ( M )，也就是 ( \beta ) 是满射。

所以哪怕 ( M ) 是非单的单列模，结论仍然成立。

总结一下：不管 ( M ) 是单的还是非单的单列（串行）模，( \alpha\beta ) 是满射当且仅当 ( \alpha ) 和 ( \beta ) 都是满射，这个结论是对的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者sami