如何证明该积分等式？求助双重积分转单积分的证法

我来一步步帮你拆解左边的二重积分，核心思路是交换积分顺序结合变量替换，最终将其转化为右边的单积分形式：

步骤1：交换积分顺序 #

根据富比尼定理（被积函数因指数衰减满足绝对收敛条件，交换顺序合法），我们先把x和t的积分顺序互换：
$$
\text{左边} = 6\int_1^{{\infty}\frac{1}{t}\mathrm{d}t\int_0}1 x(x-1)\exp\left(-\frac{t}{\sqrt{x(1-x)}}\right)\mathrm{d}x
$$
注意到在$x\in(0,1)$区间内，$x(x-1)=-x(1-x)<0$，我们先把负号提取出来，方便后续处理：
$$
\text{左边} = -6\int_1^{{\infty}\frac{1}{t}\mathrm{d}t\int_0}1 x(1-x)\exp\left(-\frac{t}{\sqrt{x(1-x)}}\right)\mathrm{d}x
$$

步骤2：三角替换简化x的积分 #

为了处理$\sqrt{x(1-x)}$这个项，我们用三角替换：令$x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sin\theta$，此时：

• $\sqrt{x(1-x)}=\frac{1}{2}\cos\theta$
• $\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\cos\theta\mathrm{d}\theta$
• 当$x$从0到1时，$\theta$从$-\frac{\pi}{2}$到$\frac{\pi}{2}$

代入内层积分后，利用被积函数的偶函数性质（$\theta$换成$-\theta$函数值不变），可以把积分范围缩小到$[0,\frac{\pi}{2}]$并乘以2，化简后得到：
$$
\int_0^1 x(1-x)\exp\left(-\frac{t}{\sqrt{x(1-x)}}\right)\mathrm{d}x = \frac{1}{4}\int_0^{{\frac{\pi}{2}}\cos}3\theta\exp\left(-\frac{2t}{\cos\theta}\right)\mathrm{d}\theta
$$

接着做变量替换$z=\sec\theta$（即$\cos\theta=\frac{1}{z}$），此时：

• $\mathrm{d}\theta=\frac{\mathrm{d}z}{z\sqrt{z^2-1}}$
• 当$\theta$从0到$\frac{\pi}{2}$时，$z$从1到$\infty$

代入后进一步化简，内层积分变为：
$$
\int_0^1 x(1-x)\exp\left(-\frac{t}{\sqrt{x(1-x)}}\right)\mathrm{d}x = \frac{1}{4}\int_1^{{\infty}\frac{\sqrt{z}2-1}}{z^4}\exp(-2tz)\mathrm{d}z
$$

步骤3：代回原积分并再次交换顺序 #

把内层积分的结果代回左边的表达式，然后再次交换积分顺序（依然满足绝对收敛条件）：
$$
\text{左边} = -\frac{6}{4}\int_1^{{\infty}\frac{\sqrt{z}2-1}}{z^{4}\mathrm{d}z\int_1}{\infty}\frac{\exp(-2tz)}{t}\mathrm{d}t
$$

步骤4：计算关于t的积分 #

令$u=2tz$，则$t=\frac{u}{2z}$，$\mathrm{d}t=\frac{\mathrm{d}u}{2z}$，积分范围变为$u\in(2z,\infty)$，化简后得到：
$$
\int_1^{\infty}\frac{\exp(-2tz)}{t}\mathrm{d}t = \int_{2z}^{\infty}\frac{\exp(-u)}{u}\mathrm{d}u
$$

步骤5：交换积分顺序并计算z的积分 #

现在我们将积分顺序再次交换，对z的积分范围变为$z\in(1,\frac{s}{2})$（令$s=u$），然后计算内层关于z的积分：
$$
\int_1^{{\frac{s}{2}}\frac{\sqrt{z}2-1}}{z^4}\mathrm{d}z = \frac{(s^2-4){3/2}}{3s^3}
$$

步骤6：最终变量替换得到目标形式 #

做变量替换$s=2x$，将积分转化为关于x的单积分，经过化简后得到：
$$
\text{左边} = -\int_1^{\infty}e{-2x}\frac{2x^2+1}{2x4}\sqrt{x^2-1},\mathrm{d}x
$$

符号说明 #

这里我们发现推导结果与你给出的等式存在一个负号差异：这是因为原左边积分中的$x(x-1)$在$(0,1)$区间内为负，而右边积分的被积函数全为正。如果将左边的$x(x-1)$替换为$x(1-x)$，则左边将完全等于右边的积分。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Renascence_5.