已知2×2矩阵A满足tr A=det A=3，求A⁻¹的迹

题目内容 #

已知A是2×2矩阵，满足矩阵的迹$\text{tr } A = 3$，行列式$\det A = 3$，求$A^{-1}$的迹？
给出的选项：

• (A) 1
• (B) 1/3
• (C) 1/6
• (D) 1/2

我的解题思路与过程 #

我是利用矩阵特征值的性质来解这道题的：

• 首先，对于n阶矩阵，迹等于所有特征值的和，这里是2×2矩阵，所以$\lambda_1 + \lambda_2 = \text{tr } A = 3$
• 其次，矩阵的行列式等于所有特征值的乘积，也就是$\lambda_1 \cdot \lambda_2 = \det A = 3$
• 而逆矩阵$A^{{-1}$的特征值恰好是原矩阵特征值的倒数，所以$A}{-1}$的迹就是$\frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2}$
• 最后通分计算这个和：
  $$\frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2} = \frac{\lambda_1 + \lambda_2}{\lambda_1 \cdot \lambda_2} = \frac{3}{3} = 1$$

这次练习我花了5分钟思考才得出这个结果，对应的选项是(A)。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者DSR