$\mathbb{C}[x]$上泛函$f(p)=p'(0)$的连续性判定咨询

你之前找的序列$2^{-n}(x+1)n$确实不行，因为它在0处的导数是$n/2^n$，当$n$增大时会趋向0，自然有界。我给你两个简单有效的思路：

构造单位球内导数无界的多项式序列 #

直接构造满足$|p_n|=1$（属于单位球），但$|p_n'(0)|$趋向无穷的多项式序列：

• 考虑多项式$p_n(x) = (1-x)^n$：
  1. 计算范数：在区间$[0,1]$上，$(1-x)^n$的最大值出现在$x=0$处，值为1，所以$|p_n|=1$，完全在单位球内；
  2. 计算导数：$p_n'(x) = -n(1-x)^{n-1}$，代入$x=0$得$p_n'(0) = -n$，显然$|p_n'(0)|=n$，当$n\to\infty$时，这个值会趋向无穷大。

这就说明泛函$f$把单位球映射到了无界集合，根据线性泛函连续的充要条件（将单位球映射到有界集），直接得出$f$不连续。

用反证法结合连续泛函的有界性 #

假设$f$是连续线性泛函，那么必然存在常数$M>0$，使得对所有$p\in\mathbb{C}[x]$，都有$|f(p)| \leq M|p|$。
但我们取上面的$p_n(x)=(1-x)^n$，代入得$n = |p_n'(0)| \leq M|p_n| = M*1$，也就是$n\leq M$对所有正整数$n$成立，这显然是矛盾的（$n$可以任意大），因此假设不成立，$f$不连续。

另外再提一下，你之前的序列问题出在导数增长速度赶不上系数的衰减速度，所以要找导数增长快、同时范数能被控制在1以内的多项式，$(1-x)^n$就是个完美的例子~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Invincible