有限维内积空间中正交投影算子乘积的相关疑问

你的这个结论不正确，咱们来一步步理清问题出在哪：

首先，你混淆了「子空间交集为零」和「子空间正交」这两个完全不同的概念：

• ( W_1 \cap W_2 = {0} ) 只是说两个子空间没有非零的公共元素，但这并不代表 ( W_2 ) 里的向量和 ( W_1 ) 里的向量都垂直；
• 只有当 ( W_1 \perp W_2 )（即对任意 ( u \in W_1, v \in W_2 )，都有 ( \langle u, v \rangle = 0 )）时，( W_2 ) 中的向量在 ( W_1 ) 上的正交投影才会是零向量。

举个直观的二维例子就能看明白：
在欧氏空间 ( \mathbb{R}^2 ) 中，取 ( W_1 ) 为x轴（即 ( {(a, 0) \mid a \in \mathbb{R}} )），( W_2 ) 为直线 ( y = x )（即 ( {(a, a) \mid a \in \mathbb{R}} )），显然 ( W_1 \cap W_2 = {0} )。
现在计算投影乘积：任取 ( v = (b, c) \in \mathbb{R}^2 )，( P_{W_2}(v) ) 是 ( v ) 在 ( y=x ) 上的正交投影，结果为 ( \left( \frac{b+c}{2}, \frac{b+c}{2} \right) )；再对这个结果作用 ( P_{W_1} )，得到 ( \left( \frac{b+c}{2}, 0 \right) )。比如取 ( v=(1,1) )，最终结果是 ( (1, 0) \neq 0 )，这就直接说明 ( P_{W_1}P_{W_2} \neq 0 )。

再结合你提到的已知条件：正交投影交换 ( P_{W_1}P_{W_2} = P_{W_2}P_{W_1} \iff W_1 \perp W_2 )。如果 ( P_{W_1}P_{W_2} = 0 )，那么必然有 ( P_{W_2}P_{W_1} = 0 )（因为正交投影是自伴算子，( (P_{W_1}P_{W_2})^* = P_{W_2}P_{W_1} )，零算子的伴随还是零算子），这时候根据交换条件，就要求 ( W_1 \perp W_2 )——而 ( W_1 \perp W_2 ) 确实能推出 ( W_1 \cap W_2 = {0} )，但反过来，仅仅交集为零是推不出正交的，这就是你推导中的关键错误。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者moshe