$\mathbb R^d$中紧子集外点的最近点存在性证明问询

嘿，我看你试着用开覆盖的思路来证这个结论，方向完全没问题！咱们把这个思路补全，另外也给你提供一种更直观的序列紧性方法，两种路子都理清楚：

方法一：利用序列紧性（欧氏空间紧集的等价刻画） #

在$\mathbb R^d$里，紧集和序列紧集是等价的——也就是说，紧集里的任何无限序列都能找出收敛的子列，而且子列的极限还在这个紧集里。咱们用这个性质来构造证明：

• 先定义距离函数$f(x) = |x - y|$，这个函数在$\mathbb R^d$上是连续的（毕竟范数本身就是连续函数）。
• 记$d = \inf_{x \in K} |x - y|$，因为K是非空紧集，这个下确界$d$肯定是存在的，而且是个非负实数。
• 根据下确界的定义，对每一个正整数$n$，总能找到$x_n \in K$，使得$d \leq |x_n - y| < d + \frac{1}{n}$——简单说就是能找到K里的点，距离y无限接近$d$。
• 因为K是序列紧的，所以这个${x_n}$序列里一定能抽出一个收敛的子列${x_{n_k}}$，设它的极限是$x_0$。又因为紧集是闭集，所以$x_0$必然属于K。
• 再利用范数的连续性，对这个子列取极限：$\lim_{k \to \infty} |x_{n_k} - y| = |x_0 - y|$，而根据子列的构造，这个极限就是$d$。
• 这下就好办了：对任意$x \in K$，$|x - y| \geq d = |x_0 - y|$，这不就说明$x_0$就是K中到y的最近点嘛！

方法二：补全你尝试的开覆盖思路 #

你的开覆盖方向很对，咱们可以通过“反证+紧集的有限覆盖性质”来完成证明：

• 先假设不存在这样的最近点$x_0$，也就是说，对K里的每一个点$x$，都有$|x - y| > d$（这里$d$还是刚才的下确界），毕竟如果有某个点等于$d$，那它就是最近点了。
• 那对每个$x \in K$，咱们构造一个开球$B(x, \delta_x)$，其中$\delta_x = \frac{1}{2}(|x - y| - d)$——因为$|x - y| > d$，所以$\delta_x$肯定是正的。这个开球里的任意点$z$满足：
  $$|z - y| \geq |x - y| - |z - x| > |x - y| - \delta_x = \frac{1}{2}(|x - y| + d) > d$$
  换句话说，这个开球里的所有点到y的距离都比某个大于$d$的数要大。
• 现在，所有这些开球${B(x, \delta_x) \mid x \in K}$构成了紧集K的一个开覆盖。根据紧集的有限覆盖性质，这个开覆盖一定能找出有限个开球就能把K完全盖住，比如${B(x_1, \delta_{x_1}), ..., B(x_n, \delta_{x_n})}$。
• 咱们取这有限个开球对应的那个“大于d的数”的最小值：$t_0 = \min\left{\frac{1}{2}(|x_i - y| + d) \mid i=1,...,n\right}$，显然$t_0 > d$。但根据有限覆盖的定义，K里的任意点$z$都属于其中一个开球，所以$|z - y| > t_0 > d$——这就矛盾了！
• 为啥矛盾？因为$d$是K到y的距离下确界，意味着我们能找到K里的点距离y无限接近$d$，但现在却说所有点到y的距离都大于$t_0$（比d大），这显然不成立。
• 所以一开始的假设错了，必然存在$x_0 \in K$，使得$|x_0 - y| = d$，也就是咱们要找的最近点。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Alexander King