超几何函数积分等式证明问询（p+2<q且μ>0）

嘿，你的思路完全找对方向了！用超几何函数的级数展开来处理这个积分是最直接的路径，我一步步带你把整个证明理清楚：

首先回忆广义超几何函数$_pF_q$的级数定义：
$$
pF_q\left(a_1,\dots,a_p;b_1,\dots,b_q;z\right) = \sum{n=0}^{\infty} \frac{(a_1)_n(a_2)_n\cdots(a_p)_n}{(b_1)_n(b_2)_n\cdots(b_q)_n} \frac{z^n}{n!}
$$
这里的$(c)_n$是Pochhammer符号（也叫上升阶乘），定义为$(c)_n = c(c+1)\cdots(c+n-1)$，当$n=0$时规定$(c)_0=1$。

把原式里的$pF_q(a_1\dots a_p,b_1\dots b_q;\beta x)$用这个展开式替换，代入积分后得到：
$$
\int{0}^{\infty} \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a_1)_n\cdots(a_p)_n}{(b_1)_n\cdots(b_q)_n} \frac{(\beta x)^n}{n!} \right) e^{-\alpha x} x^{\mu-1} dx
$$

接下来要交换积分和求和的顺序，这一步的合理性题目已经帮我们铺垫好了——给定的$p+2 < q$条件，保证了超几何函数的级数在整个正实轴上绝对收敛，再加上$e^{-\alpha x}$（$\alpha>0$）的指数衰减特性，不管$x$多大，这个衰减项都能压过级数的增长，根据控制收敛定理，我们可以放心交换顺序：
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a_1)_n\cdots(a_p)_n}{(b_1)_n\cdots(b_q)n} \frac{\beta^n}{n!} \int{0}^{\infty} e^{-\alpha x} x^{\mu+n-1} dx
$$

现在看里面的积分，这是Gamma函数的标准形式：
$$
\int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{s-1} dt = \Gamma(s) \quad (\text{Re}(s)>0)
$$
做变量替换$t = \alpha x$，则$x = t/\alpha$，$dx = dt/\alpha$，代入积分后：
$$
\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha x} x^{\mu+n-1} dx = \frac{1}{\alpha^{\mu+n}} \int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{\mu+n-1} dt = \frac{\Gamma(\mu+n)}{\alpha^{\mu+n}}
$$
因为题目里给了$\mu>0$，所以$\mu+n>0$对所有非负整数$n$都成立，Gamma函数是有定义的。

这里还要用一个关键的恒等式：$\Gamma(\mu+n) = \Gamma(\mu)(\mu)_n$，它把Gamma函数的增长转化为Pochhammer符号的形式，正好能和超几何级数的项匹配。

把积分结果代回求和式，再把常数项$\frac{\Gamma(\mu)}{\alpha^\mu}$提出来：
$$
\frac{\Gamma(\mu)}{\alpha^\mu} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a_1)_n\cdots(a_p)_n (\mu)_n}{(b_1)n\cdots(b_q)n} \frac{(\beta/\alpha)^n}{n!}
$$
你看这个求和式，正好就是广义超几何函数${p+1}F_q$的定义——对比它的级数形式，分子参数多了一个$\mu$，变量是$\beta/\alpha$，所以：
$$
\sum{n=0}^{\infty} \frac{(a_1)_n\cdots(a_p)_n (\mu)_n}{(b_1)_n\cdots(b_q)_n} \frac{(\beta/\alpha)^n}{n!} = _{p+1}F_q\left(a_1,\dots,a_p,\mu;b_1,\dots,b_q;\frac{\beta}{\alpha}\right)
$$

把上面的式子整合起来，就正好得到了你要证明的等式：
$$
\int^{\infty}_{0}\ _pF_q(a_1\dots a_p,b_1\dots b_q;\beta x)e^{-\alpha x}x^{\mu-1}dx = \frac{\Gamma(\mu)}{\alpha^\mu}\ _{p+1}F_q \left(a_1\dots a_p, \mu,b_1\dots b_q;\frac{\beta}{\alpha}\right)
$$

• 关于$p+2 < q$的作用：这个条件是为了确保超几何级数的增长速度不会超过指数衰减项，让积分整体收敛。如果没有这个条件，可能需要额外分析收敛范围，但题目已经给出了，我们就不用纠结啦。
• Pochhammer符号是处理超几何函数的核心工具，记住$\Gamma(c+n)=\Gamma(c)(c)_n$这个恒等式，后续遇到类似问题会很有用。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Evan