求证：关于$\limsup$的$\varepsilon$等价条件是否不成立

你提出的这个等价性其实是成立的，你的误解出在对条件(ii)的推导上——咱们一步步理清楚来：

首先先明确两个命题的准确表述：

(i) $a = \limsup s_n$
(ii) $\forall \varepsilon>0$，满足$a+\varepsilon < s_n$的自然数$n$仅有有限个，但满足$a-\varepsilon < s_n$的自然数$n$有无穷多个

你的推导误区在哪？ #

你认为(ii)成立时，会推出$\exists N$，当$n\ge N$时，$a-\varepsilon < s_n \le a+\varepsilon$，进而得到$a = \lim s_n$，这其实是错的。核心问题在于：条件(ii)里的$\varepsilon$是任意给定的，而且后半句的“有无穷多个$n$满足$s_n > a-\varepsilon$”，不代表当$n$足够大时所有$s_n$都大于$a-\varepsilon$——只是说不管你取多大的$N$，总能找到比$N$大的$n$使得$s_n > a-\varepsilon$。

举个直观的例子：数列$s_n = (-1)^n$，它的$\limsup s_n = 1$。咱们验证条件(ii)：

• 对任意$\varepsilon>0$，满足$1+\varepsilon < s_n$的$n$：因为$s_n$最大就是1，所以这样的$n$一个都没有，显然是有限个；
• 满足$1-\varepsilon < s_n$的$n$：所有偶数$n$都满足（因为$s_n=1>1-\varepsilon$），这是无穷多个。

但这个数列的极限明显不存在，对吧？这就直接推翻了“(ii)推出数列收敛到$a$”的结论。

为什么两个命题等价？ #

从(i)推(ii)：

如果$a = \limsup s_n = \lim_{N\to\infty} \sup_{n\ge N} s_n$，那么：

• 对任意$\varepsilon>0$，存在$N$，当$k\ge N$时，$\sup_{n\ge k} s_n < a+\varepsilon$。这意味着当$n\ge N$时，$s_n \le \sup_{n\ge N} s_n < a+\varepsilon$，所以满足$s_n > a+\varepsilon$的$n$最多是前$N-1$个，必然是有限个；
• 同时，对任意$N$，$\sup_{n\ge N} s_n > a-\varepsilon$（因为极限是$a$，当$k$足够大时$\sup_{n\ge k} s_n > a-\varepsilon$，而$\sup_{n\ge N} s_n \ge \sup_{n\ge k} s_n$），这说明在$n\ge N$中至少有一个$s_n > a-\varepsilon$。由于$N$是任意的，这样的$n$肯定有无穷多个。

从(ii)推(i)：

假设(ii)成立，我们要证明$a = \lim_{N\to\infty} \sup_{n\ge N} s_n$：

• 记$b_N = \sup_{n\ge N} s_n$，这个数列是单调递减的，所以极限存在（可能是$-∞$）。设$b = \lim_{N\to\infty} b_N$。
• 对任意$\varepsilon>0$，因为满足$s_n > a+\varepsilon$的$n$有限，所以存在$N$，当$n≥N$时$s_n ≤ a+\varepsilon$，因此$b_N ≤ a+\varepsilon$，令$N→∞$得$b ≤ a+\varepsilon$。由于$\varepsilon$任意，所以$b ≤ a$；
• 另一方面，对任意$\varepsilon>0$，满足$s_n > a-\varepsilon$的$n$有无穷多个，所以对任意$N$，$\sup_{n\ge N} s_n > a-\varepsilon$，即$b_N > a-\varepsilon$，令$N→∞$得$b ≥ a-\varepsilon$。由于$\varepsilon$任意，所以$b ≥ a$。

综上，$b=a$，也就是$a = \limsup s_n$。

所以这两个命题确实是等价的，你的问题核心是把“有无穷多个$n$满足$s_n > a-\varepsilon$”错误理解成了“当$n$足够大时所有$s_n$都大于$a-\varepsilon$”，这两者的区别是关键哦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Iced Palmer