$\mathbb{R}^N$中序列性质证明求助：子序列模长收敛性

嘿，咱们一步步拆解这个证明，核心其实就是用到实数体系里的Bolzano-Weierstrass定理，思路非常清晰：

首先，对于$\mathbb{R}^N$里的任意序列$(x_n)$，咱们先聚焦它的模长序列$(|x_n|)$——这是个非负实数序列，毕竟向量的模长不可能是负数对吧？

接下来分两种完全覆盖所有可能性的情况讨论：

情况1：模长序列$(|x_n|)$有界 #

如果存在某个正数$M>0$，让所有的$|x_n|≤M$，那原序列$(x_n)$就是$\mathbb{R}^{N$里的有界序列。根据$\mathbb{R}}N$中的Bolzano-Weierstrass定理：有界序列一定存在收敛子列。假设这个收敛子列是$(x_{n_k})$，它收敛到某个$x\in\mathbb{R}^N$，又因为模长函数是连续的，所以必然有$|x_{n_k}|→|x|$，这就对应了结论里的第二种情况。

情况2：模长序列$(|x_n|)$无界 #

如果模长序列无界，意思就是不管你给多大的正数$K$，总能找到某个$n$使得$|x_n|>K$。那咱们可以递归构造子列：

• 先找$n_1$，让$|x_{n_1}|>1$；
• 再找$n_2>n_1$，让$|x_{n_2}|>2$；
• 以此类推，对每个$k$，找$n_k>n_{k-1}$，让$|x_{n_k}|>k$；
  这样构造出来的子列$(x_{n_k})$，显然满足$|x_{n_k}|→+\infty$，正好对应结论里的第一种情况。

不管原序列属于哪种情况，咱们都能找到符合要求的子列，所以这个结论就证完啦！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Vrouvrou