为何教科书未用F₁单射简化忠实函子定义的技术问询

嘿，这个问题问得特别戳中范畴论定义的核心细节——其实关键在于范畴里的态射从来不是孤立的，而是绑定在特定的对象对之间的，咱们得先掰扯清楚你说的F₁到底是什么意思，再看两种定义的差异。

先明确标准定义的核心 #

范畴论里对忠实函子的标准定义：

函子$F\colon\mathcal{A}\to\mathcal{B}$是忠实函子，当且仅当对$\mathcal{A}$中任意两个对象$A,A'$，映射$F_{AA'}\colon\operatorname{Hom}{\mathcal{A}}(A,A') \to \operatorname{Hom}{\mathcal{B}}(FA,FA')$是单射。

翻译成人话就是：只要两个态射是从同一个起点对象到同一个终点对象的，要是它们被F映射成同一个态射，那这两个态射本身必须是同一个。它关注的是每个“态射族群”（同一对象对的Hom集）内部的映射忠实性。

为什么不能用“$F₁$是单射”替代？ #

你提到的“$F₁$是单射”，应该是指把$\mathcal{A}$中所有态射构成的集合（也就是$\coprod_{A,A'\in\mathcal{A}} \operatorname{Hom}{\mathcal{A}}(A,A')$），通过F映射到$\mathcal{B}$的所有态射集合$\coprod{FA,FA'\in\mathcal{B}} \operatorname{Hom}_{\mathcal{B}}(FA,FA')$，这个整体的集合论单射。

但这个条件比标准定义严格得多，两者并不等价：

• 首先，如果$F₁$是单射，那它自然满足逐Hom集单射（因为每个Hom集都是总态射集的子集，单射限制在子集上还是单射），所以这是忠实函子的充分条件。
• 但反过来不成立！举个简单的例子：
  设$\mathcal{A}$是有两个对象$A,B$的范畴，每个对象只有自己的恒等态射$\text{id}_A$、$\text{id}_B$；$\mathcal{B}$是只有一个对象$C$的范畴，只有恒等态射$\text{id}_C$。定义函子$F$：把$A,B$都映射到$C$，把$\text{id}_A$和$\text{id}B$都映射到$\text{id}C$。
  按照标准定义，$F$是忠实函子——因为$\operatorname{Hom}{\mathcal{A}}(A,A)$里只有$\text{id}A$，$F{AA}$是单射；$\operatorname{Hom}{\mathcal{A}}(B,B)$同理也是单射。但整体的$F₁$把两个不同的态射$\text{id}_A$和$\text{id}_B$映射成了同一个$\text{id}_C$，所以$F₁$不是集合论单射。
  要是用“$F₁$是单射”当定义，这个$F$就不算忠实函子，但这显然违背了我们对“忠实”的直观理解：它已经忠实地保留了每个Hom集里的所有信息。

标准定义的合理性：态射的“对象绑定”属性 #

范畴论里，态射的“起点和终点”是它的核心身份标识——从$A$到$A'$的态射，和从$B$到$B'$的态射（哪怕$A≠B$或$A'≠B'$）是完全不同“类型”的态射，它们在范畴里本来就不会被混淆。忠实函子要保证的是同一类型的态射不会被F混淆，而不同类型的态射即使被F映射到同一个，也不影响“忠实”的性质——因为它们原本就不属于同一个Hom集，在源范畴里就不是同一类的。

所以标准定义才是贴合范畴论本质的，而“$F₁$是单射”是一个额外的强条件，不能用来简化忠实函子的定义。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者bateman