求使恒等式|ax+by|+|bx+ay|=|x|+|y|对所有实数x,y成立的|a|+|b|的值

没问题，我来帮你把这个推导补全，确认最终结果~

我们需要找到所有满足恒等式 $$|ax+by|+|bx+ay|=|x|+|y|$$ 对所有实数 $x,y$ 成立的 $|a|+|b|$ 的值。

你通过令 $x=0$ 和 $y=0$ 得到的结论完全正确：

• 当 $x=0$ 时，原式变为 $|by| + |ay| = |y|$，即 $|y|(|a|+|b|)=|y|$。由于该式要对所有 $y\in\mathbb{R}$ 成立，当 $y\neq0$ 时必须有 $|a|+|b|=1$；
• 当 $y=0$ 时，同理可得 $|x|(|a|+|b|)=|x|$，同样要求 $|a|+|b|=1$。

这说明：如果存在满足恒等式的 $a,b$，那么必然有 $|a|+|b|=1$——这是必要条件。

接下来我们需要确认：是否存在 $a,b$ 满足 $|a|+|b|=1$ 且让恒等式成立？当然有：
比如取 $a=1, b=0$，代入原式得：
$$|1\cdot x + 0\cdot y| + |0\cdot x + 1\cdot y| = |x| + |y|$$
完全等于右边，成立；
再比如 $a=0, b=-1$，代入得：
$$|0\cdot x + (-1)\cdot y| + |(-1)\cdot x + 0\cdot y| = |y| + |x|$$
也完全符合恒等式。

不过要注意：不是所有满足 $|a|+|b|=1$ 的 $a,b$ 都能让恒等式成立（比如 $a=\frac{1}{2}, b=\frac{1}{2}$，代入 $x=1,y=-1$ 时左边为 $0$，右边为 $2$，不相等），但这并不影响我们的结论——因为问题是求满足恒等式的 $|a|+|b|$ 的值，而所有满足恒等式的 $a,b$ 必然对应 $|a|+|b|=1$，同时存在这样的 $a,b$ 使得等式成立，所以这个值是唯一的。

如果 $|a|+|b|\neq1$：

• 若 $|a|+|b|>1$，取 $x=y=1$，左边为 $2|a+b|\leq2(|a|+|b|)>2$，右边为 $2$，显然不相等；
• 若 $|a|+|b|<1$，同样取 $x=y=1$，左边为 $2|a+b|\leq2(|a|+|b|)<2$，右边为 $2$，也不相等。

因此，$|a|+|b|$ 只能等于1。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者DXT