如何求解含取整函数的数列极限？现有方法遇阻求新思路

1. 计算 $\boldsymbol{\lim _{n\to \infty }(n\left\lfloor\frac{5}{n}\right\rfloor)}$ #

你之前尝试用夹逼准则得到下界趋向负无穷，确实没法帮我们锁定极限值，那换个更直接的思路——分析取整函数在n趋向无穷时的实际取值：

当n趋向于无穷大时，$\frac{5}{n}$会逐渐趋近于0。具体来说，当整数$n > 5$时，$0 < \frac{5}{n} < 1$，而取整函数$\lfloor x \rfloor$的定义是“不大于x的最大整数”，所以此时$\left\lfloor\frac{5}{n}\right\rfloor = 0$。

也就是说，当n足够大（n > 5）时，表达式$n\left\lfloor\frac{5}{n}\right\rfloor$的值就恒为0了。既然当n趋向无穷时，这个序列最终会一直等于0，那它的极限自然就是0。

举几个例子验证：n=6时，$\left\lfloor\frac{5}{6}\right\rfloor=0$，6×0=0；n=100时，$\left\lfloor\frac{5}{100}\right\rfloor=0$，100×0=0，完全符合这个结论。

2. 计算 $\boldsymbol{\lim _{n\to \infty }(\lfloor n \rfloor \cdot \frac{5}{n})}$ #

这个极限用夹逼准则就能顺利求解，你已经有了不错的开局，咱们把推导补完：

首先，对任意正整数n，取整函数满足基本不等式：
$$n - 1 \le \lfloor n \rfloor \le n$$
因为n趋向无穷时n是正数，所以两边同时乘以$\frac{5}{n}$，不等号方向不变：
$$(n - 1)\cdot\frac{5}{n} \le \lfloor n \rfloor \cdot \frac{5}{n} \le n\cdot\frac{5}{n}$$

接下来计算左右两边的极限：

• 右边极限：$\lim_{n→∞} n\cdot\frac{5}{n} = \lim_{n→∞}5 = 5$
• 左边极限：$\lim_{n→∞} (n - 1)\cdot\frac{5}{n} = \lim_{n→∞} \left(5 - \frac{5}{n}\right) = 5 - 0 = 5$

根据夹逼准则，中间的序列极限必然等于左右两边的极限值，也就是：
$$\lim _{n\to \infty }(\lfloor n \rfloor \cdot \frac{5}{n}) = 5$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者J.Doe