函数f的α-下水平集与上图（epigraph）的区别是什么？

先把两个定义再明确下，方便对照：

α-下水平集：$C_\alpha={x \in \mathbf{dom} f|f(x)\leq\alpha}$
函数上图（epigraph）：${\mbox{epi}}f={(x,\mu ),:,x\in {\mathbb {R}}^{n},,\mu \in {\mathbb {R}},,\mu \geq f(x)}\subseteq {\mathbb {R}}^{{n+1}}$

你觉得两者相似是正常的，但其实它们的差异非常明显，我从几个关键点给你拆解：

• 维度完全不一样
  α-下水平集是和函数定义域同维度的集合——比如f是n元函数，那$C_\alpha$就是n维空间里的子集，只包含定义域中满足条件的x，没有额外维度。而上图是n+1维空间的集合，它把x和对应的μ（可以理解为“高度”）绑在一起，每个元素都是一个(x,μ)对，相当于在原定义域基础上加了一个维度。

• 阈值的固定性不同
  这是最核心的区别：α-下水平集是固定了α这个阈值后，筛选出定义域里f(x)不超过它的所有点。而上图根本没有固定阈值——它包含了所有可能的、大于等于f(x)的μ值对应的(x,μ)对，相当于把“每个x上方所有比f(x)高的位置”都打包进去了。

• 几何意义差很多
  拿一维函数举个直观例子：比如$f(x)=x²$，当α=4时，它的α-下水平集是一维区间[-2,2]，就是x轴上满足x²≤4的所有点；而它的上图是二维平面里，抛物线$y=x²$上方的整个区域（包括抛物线本身），是一个无限延伸的二维区域。

• 用途侧重点不同
  下水平集常用来做优化问题里的可行性分析——比如找满足$f(x)≤α$的解空间，或者判断函数凸性（凸函数的所有下水平集都是凸集）；而上图则是从整体几何形态来定义凸函数的关键工具：一个函数是凸函数，当且仅当它的上图是凸集，这种定义方式有时候比函数本身的凸性条件更直观。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者jian