$\mathbb{R}^3$与$S^3$中链环等价性的两种定义是否本质相同？

咱们先把核心的空间关系理清楚：$S^{3$其实就是$\mathbb{R}}3$的单点紧化——你可以把它想象成给$\mathbb{R}^3$加了一个“无穷远点”，使得整个空间变成了一个闭合的三维球面。

接下来咱们拆解两个定义的等价性：

• 链环在两个空间中的嵌入可以互相转化
  任何$\mathbb{R}^{3$里的链环，都天然是$S}3$里的链环（毕竟$\mathbb{R}^3$是$S3$的子空间）；而$S^{3$里的任意链环，因为链环是由有限个简单闭曲线组成的紧子集，我们总能找到一个$S}3$中的环境同痕，把它整个移到不包含那个“无穷远点”的区域，也就是完全落在$\mathbb{R}^3$里面。

• 环境同痕的对应关系

  1. 如果$\mathbb{R}^{3$里的两个链环是环境同痕的，那这个同痕过程完全在$\mathbb{R}}3$内发生，直接把它延拓到$S^{3$上（对无穷远点做平凡的同痕），就得到了$S}3$中的环境同痕，所以这两个链环在$S^3$的定义下也等价。
  2. 反过来，如果$S^{3$里的两个链环是环境同痕的，我们先把它们都通过环境同痕移到$\mathbb{R}}3$内部，然后把原同痕限制在$\mathbb{R}^{3$上，就得到了$\mathbb{R}}3$中的环境同痕，所以它们在$\mathbb{R}^3$的定义下也等价。

• 最终结论
  这两个定义本质上是完全相同的——因为$S^{3$和$\mathbb{R}}3$的紧化关系，链环的环境同痕在两个空间里可以无障碍地互相转化，不存在哪种定义能区分出另一种定义区分不了的链环。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Hunter Liu