关于利用二次互反律推导5为模p二次非剩余的技术问询

我来一步步给你理清楚这个推导逻辑，其实核心就是把已知条件和勒让德符号的性质结合起来：

第一步：化简二次互反律的等式 #

你给出的二次互反律公式是：
$$\left( \frac{p}{5} \right) \cdot \left( \frac{5}{p} \right) = (-1)^{\frac{(p-1)(5-1)}{4}}$$
先算指数部分：$\frac{(p-1)(5-1)}{4} = \frac{(p-1) \times 4}{4} = p-1$。因为$p=2q+1$（q是素数），所以p是奇素数，$p-1$是偶数，那$(-1)^{p-1}=1$。所以这个等式就简化成：
$$\left( \frac{p}{5} \right) = \left( \frac{5}{p} \right)$$

第二步：计算$\left( \frac{p}{5} \right)$的值 #

已知$p \equiv 2 \pmod{5}$，根据勒让德符号的性质：$\left( \frac{p}{5} \right) = \left( \frac{p \mod 5}{5} \right)$，也就是$\left( \frac{2}{5} \right)$。

那$\left( \frac{2}{5} \right)$是多少呢？我们直接枚举模5的二次剩余：5的平方剩余是$1^2=1$，$22=4$，$3^{2=9\equiv4$，$4}2=16\equiv1$，所以模5的二次剩余只有1和4，2不在其中，因此$\left( \frac{2}{5} \right) = -1$（勒让德符号为-1表示对应数是二次非剩余）。

第三步：推导结论 #

因为$\left( \frac{p}{5} \right) = \left( \frac{5}{p} \right)$，而前者等于-1，所以$\left( \frac{5}{p} \right) = -1$，这就意味着5是模p的二次非剩余啦。

对了，你提到的“快速方法”没说完哦～如果是想问判断二次剩余的快速技巧，我可以补充几个常见的：

• 对于小素数模，直接记住它的二次剩余列表（比如模5是1、4，模7是1、2、4，模11是1、3、4、5、9），一眼就能判断；
• 利用勒让德符号的乘法性质：$\left( \frac{ab}{p} \right) = \left( \frac{a}{p} \right)\left( \frac{b}{p} \right)$，把大数拆成小素数的乘积来计算；
• 高斯引理：通过计算$a,2a,..., \frac{p-1}{2}a$模p后大于$\frac{p}{2}$的数的个数，来判断符号，有时候比欧拉判别法计算量小。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者blueplusgreen