关于单列模上自同态αβ单射等价于α、β均单射的证明问询

嗨，这个问题咱们一步步拆解清楚～首先先明确已知条件：$R$是含单位元的环，$M$是左$R$-单列模（也就是它的所有子模构成一个链——任意两个子模之间必有包含关系），$\alpha,\beta \in \text{End}_R(M)$是$M$的$R$-自同态。我们要证明的核心结论是：$\alpha\beta$是单射当且仅当$\alpha$和$\beta$都是单射。

方向一：若$\alpha$和$\beta$都是单射，则$\alpha\beta$是单射 #

这部分其实是模同态的基本性质，不用单列模的特殊条件也能成立：
假设$\alpha\beta(x)=0$（$x\in M$），因为$\alpha$是单射，所以$\beta(x)=0$；又因为$\beta$是单射，所以$x=0$。这就说明$\alpha\beta$的核$\ker(\alpha\beta)={0}$，也就是$\alpha\beta$是单射，这一步很直接～

方向二：若$\alpha\beta$是单射，则$\alpha$和$\beta$都是单射 #

这部分才是需要用到单列模性质的关键环节，咱们分两步证：

第一步：先证$\beta$是单射 #

如果$\beta$不是单射，那它的核$\ker(\beta)$就是$M$的非零子模。但注意到$\ker(\beta) \subseteq \ker(\alpha\beta)$——毕竟如果$\beta(x)=0$，那$\alpha\beta(x)=\alpha(0)=0$。而已知$\alpha\beta$是单射，所以$\ker(\alpha\beta)={0}$，那$\ker(\beta)$只能是${0}$，自然$\beta$就是单射了。

第二步：再证$\alpha$是单射 #

现在已经知道$\beta$是单射，所以$\beta(M)$是$M$的一个子模（单同态的像必然是原模的子模）。同时$\ker(\alpha)$也是$M$的子模（自同态的核都是子模）。

因为$M$是单列模，它的子模是链结构，所以$\beta(M)$和$\ker(\alpha)$这两个子模必有包含关系：要么$\beta(M)\subseteq \ker(\alpha)$，要么$\ker(\alpha)\subseteq \beta(M)$。

• 先看第一种情况：如果$\beta(M)\subseteq \ker(\alpha)$，那对任意$x\in M$，$\alpha(\beta(x))=0$，也就是$\alpha\beta$是零同态。但零同态的核是整个$M$，不可能是单射，这和已知$\alpha\beta$是单射矛盾，所以这种情况绝对不可能发生。
• 那只能是第二种情况：$\ker(\alpha)\subseteq \beta(M)$。现在假设$\ker(\alpha)$非零，那存在非零元素$y\in \ker(\alpha)\subseteq \beta(M)$，也就是说存在$x\in M$使得$\beta(x)=y$。那$\alpha\beta(x)=\alpha(y)=0$，但$\alpha\beta$是单射，所以$x=0$，那$y=\beta(0)=0$，这就矛盾了！所以$\ker(\alpha)$只能是${0}$，也就是$\alpha$是单射。

这样就完成了反向的证明～

总结一下：正向是模同态单射的复合性质，反向中$\beta$的单射性由核的包含关系直接推出，而$\alpha$的单射性则必须借助单列模的子模链性质，通过排除矛盾的子模包含情况来证明。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者sami