幂等线性映射的核与像直和分解证明问题咨询

嘿，你的思路里有个小误区哦——幂等映射$\varphi$满足$\varphi \cdot \varphi = \varphi$，但它不是恒等映射！比如平面向量空间里的x轴投影映射：把$(x,y)$映射为$(x,0)$，重复投影结果不变，满足幂等性，但它显然不会把所有向量都映射成自身，所以不能直接当成恒等映射来推导。接下来咱们一步步严谨证明你需要的两个结论：

1. 证明 $Ker(\varphi) \cap Im(\varphi) = {0}$ #

假设存在向量 $v \in Ker(\varphi) \cap Im(\varphi)$，根据子空间交集的定义，$v$同时满足：

• 因为 $v \in Ker(\varphi)$，所以 $\varphi(v) = 0$；
• 因为 $v \in Im(\varphi)$，所以存在某个 $u \in V$，使得 $v = \varphi(u)$。

把第二个式子代入第一个条件，可得：
$$\varphi(\varphi(u)) = 0$$
而根据幂等映射的定义，$\varphi(\varphi(u)) = \varphi(u)$，所以$\varphi(u) = 0$，又因为$v = \varphi(u)$，因此$v = 0$。

这就说明$Ker(\varphi) \cap Im(\varphi)$中只有零向量，结论得证。

2. 证明 $Ker(\varphi) + Im(\varphi) = V$ #

任取任意向量 $v \in V$，我们可以将其拆分为如下两个向量的和：
$$v = (v - \varphi(v)) + \varphi(v)$$
现在分别验证这两个向量所属的子空间：

• 对于 $v - \varphi(v)$：利用线性映射的性质和幂等性计算$\varphi$的作用：
  $$\varphi(v - \varphi(v)) = \varphi(v) - \varphi(\varphi(v)) = \varphi(v) - \varphi(v) = 0$$
  这说明 $v - \varphi(v) \in Ker(\varphi)$；
• 对于 $\varphi(v)$：根据像空间的定义，它本身就是$\varphi$作用在$v$上的结果，因此$\varphi(v) \in Im(\varphi)$。

由此可见，任意$v \in V$都可以表示为$Ker(\varphi)$中的元素与$Im(\varphi)$中的元素之和，即$V = Ker(\varphi) + Im(\varphi)$，结论得证。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者phw.