是否总存在从$\mathbb{R}^n$真开子集到$\mathbb{R}$的非负投影映射？

嘿，这个问题其实很好解决，结论是这样的映射一定存在，下面我从原理和具体例子两方面给你讲清楚：

为什么总能构造出这样的映射？ #

核心利用欧氏空间的拓扑性质：

• 因为$V \subsetneq \mathbb{R}^{n$是真开子集，所以它的补集$V}c = \mathbb{R}^n \setminus V$是非空闭集（欧氏拓扑里开集的补集必然是闭集）。
• 对任意$x \in V$，我们定义$\pi(x) = d(x, V^{c)$——也就是点$x$到补集$V}c$的欧氏距离。这个函数有两个关键性质：
  1. 连续性：欧氏空间中，点到闭集的距离函数是连续的，这是拓扑学里的基本结论；
  2. 非负性（甚至严格正）：因为$V$是开集，$x$在$V$内部，所以$x$到闭集$V^{c$的距离必然大于0（如果距离为0，说明$x$是$V}c$的聚点，而闭集包含所有聚点，那$x$就属于$V^c$，和$x \in V$矛盾）。
     所以$\pi(x) > 0 \geq 0$，完美满足你的要求。

如果你说的“投影映射”特指线性投影（即满足$\pi \circ \pi = \pi$的线性映射），那非平凡的线性投影不一定存在，但恒零映射$\pi(x) = 0$总是满足$\pi(x) \geq 0$；而如果只是要求连续映射（这也是“投影”在拓扑语境下的常见广义理解），上面的距离函数构造是通用的，不管$V$是什么样的真开子集都成立。

具体示例 #

给你几个不同场景的例子，方便理解：

• 一维情况（$n=1$）：比如$V=(0,1)$，定义$\pi(x) = \min(x, 1-x)$，这个函数连续，且对所有$x \in (0,1)$，$\pi(x)$都在$(0, 0.5]$之间，满足非负要求；本质上这就是点$x$到补集$(-\infty,0] \cup [1,+\infty)$的距离。
• 二维情况（$n=2$）：比如$V$是原点为中心、半径1的开圆盘${(x,y) \mid x^2 + y^2 < 1}$，定义$\pi(x,y) = 1 - \sqrt{x^2 + y^2}$，这个函数连续，且对所有$(x,y) \in V$，$\pi(x,y) \in (0,1]$，完全符合条件；这其实也是点到补集（闭单位圆盘）的距离。
• 任意真开子集：比如$V = \mathbb{R}^3 \setminus \overline{B}(a, 2)$（即三维空间中去掉中心在$a$、半径2的闭球后的开集），直接定义$\pi(x) = d(x, \overline{B}(a,2))$，也就是点$x$到那个闭球的距离，显然$\pi(x) > 0$对所有$x \in V$成立，而且是连续的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者AlexT