求极小多项式为(λ-1)²(λ+1)²且n≤6的实矩阵若尔当标准形

咱们先明确核心约束：对于给定的实矩阵$A \in M_{n\times n}(\Bbb R)$，它的极小多项式是$(\lambda-1)^2(\lambda+1)2$，这意味着：

• 特征值1对应的若尔当块最大阶数为2，不能出现3阶及以上的若尔当块；
• 特征值-1对应的若尔当块最大阶数也为2，同理不能出现高阶块；
• 所有若尔当块的阶数之和等于矩阵的阶数$n$，且$n\leq6$。

接下来按不同阶数$n$逐一分析：

n=4 #

此时特征多项式只能是$(\lambda-1)^2(\lambda+1)2$，对应的若尔当标准形只有1种：

• $\mathrm{diag}(J_1(2), J_{-1}(2))$（两个2阶若尔当块，分别对应特征值1和-1）

n=5 #

特征多项式有两种可能，对应不同的若尔当标准形：

• 特征多项式为$(\lambda-1)^3(\lambda+1)2$：特征值1的若尔当块是1个2阶块+1个1阶块，特征值-1是1个2阶块，标准形为 $\mathrm{diag}(J_1(2), J_1(1), J_{-1}(2))$
• 特征多项式为$(\lambda-1)^2(\lambda+1)3$：特征值-1的若尔当块是1个2阶块+1个1阶块，特征值1是1个2阶块，标准形为 $\mathrm{diag}(J_1(2), J_{-1}(2), J_{-1}(1))$

n=6 #

正如问题里提到的，特征多项式有三种情况，对应的若尔当标准形如下：

情况1：特征多项式为$(\lambda-1)^3(\lambda+1)3$ #

特征值1的块是1个2阶块+1个1阶块（总阶数3），特征值-1的块是1个2阶块+1个1阶块（总阶数3），标准形为：
$\mathrm{diag}(J_1(2), J_1(1), J_{-1}(2), J_{-1}(1))$

情况2：特征多项式为$(\lambda-1)^4(\lambda+1)2$ #

特征值1的块是两个2阶块（总阶数4），特征值-1的块是1个2阶块，标准形为：
$\mathrm{diag}(J_1(2), J_1(2), J_{-1}(2))$

情况3：特征多项式为$(\lambda-1)^2(\lambda+1)4$ #

特征值1的块是1个2阶块，特征值-1的块是两个2阶块（总阶数4），标准形为：
$\mathrm{diag}(J_1(2), J_{-1}(2), J_{-1}(2))$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Eric