求底面由指定曲线围成、垂直y轴截面为半圆的几何体体积

问题描述 #

底面为由曲线 x=-y²+10y+25 与 x=y²-22y+135 围成的区域；垂直于y轴的每个横截面均为半圆，求该几何体的体积。

我的解题尝试 #

联立两条曲线方程：

-y²+10y+25=y²-22y+135
整理得到：
2y²-32y+110=0 ⇒ y²-16y+55=0
解得y的取值范围：y=5 和 y=11

完整解题步骤 #

好啦，你已经精准找到了积分的上下限，接下来咱们一步步完成剩下的计算：

• 计算横截面的直径：对于任意y∈[5,11]，两条曲线在该y值处的x差值就是半圆的直径。验证中间值（比如y=8）可知，第一条曲线的x值始终大于第二条，所以直径为：

  D = (-y²+10y+25) - (y²-22y+135)
    = -2y² + 32y - 110
    = -2(y²-16y+55)
  

  由于y∈[5,11]时，y²-16y+55=(y-5)(y-11)≤0，所以D是正数，符合直径的要求。

• 计算半圆的半径：半径r为直径的一半：

  r = D/2 = -y² + 16y - 55
  

• 计算横截面的面积：垂直于y轴的横截面是半圆，面积公式为A(y) = (1/2)πr²，代入r的表达式：

  A(y) = (1/2)π(-y²+16y-55)² = (π/2)(y²-16y+55)²
  

• 积分求体积：几何体的体积就是在y∈[5,11]区间内对横截面面积积分：

  V = ∫₅¹¹ A(y) dy = (π/2) ∫₅¹¹ (y²-16y+55)² dy
  

接下来计算这个定积分：

1. 先展开被积函数：

   (y²-16y+55)² = y⁴ - 32y³ + 366y² - 1760y + 3025
   

2. 对多项式逐项积分：

   ∫(y⁴ - 32y³ + 366y² - 1760y + 3025) dy = (y⁵)/5 - 8y⁴ + 122y³ - 880y² + 3025y + C
   

3. 代入上下限11和5计算差值：
   • 当y=11时，结果为1296/5
   • 当y=5时，结果为4000
   • 两者差值为1296/5

最后代入体积公式：

V = (π/2) * (1296/5) = 648π/5

所以这个几何体的体积是648π/5（或约为129.6π）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user380605