关于群代数函子保余极限下两类群代数同构的疑问

咱们先把这个问题拆解开来看——你提到的两个结论单独拿出来都是成立的：

• 群代数函子$R[-]$作为左伴随确实保余极限，所以群自由积的群代数满足$R[G\ast H]\cong R[G]\otimes_R R[H]$；
• 群直积的群代数同构于群代数的张量积$R[G\times H]\cong R[G]\otimes_R R[H]$，这也是代数里的标准结论。

但直接从这两个式子推出$R[G\ast H]\cong R[G\times H]$，这里的疏漏非常关键：

核心问题：同构的“语境”差异 #

虽然$R[G\ast H]$和$R[G\times H]$都与$R[G]\otimes_R R[H]$作为$R$-代数同构，但这两个同构映射对应的代数结构嵌入方式完全不同，不能直接通过“传递性”推出两者同构。

举个最直观的例子就能明白：
取$G=H=\mathbb{Z}$（整数加法群），那么：

• $G\ast H$是秩为2的自由群，对应的群代数$R[\mathbb{Z}\ast\mathbb{Z}]$是两个非交换变量的自由$R$-代数，里面的乘法是非交换的（比如$x y \neq y x$，其中$x$对应$G$的生成元，$y$对应$H$的生成元）；
• $G\times H$是$\mathbb{Z}^{2$（自由阿贝尔群），对应的群代数$R[\mathbb{Z}}2]$是两个交换变量的多项式代数$R[x,y]$，里面的乘法是交换的（$x y = y x$）。

除非$R$是零环，否则这两个代数显然不可能同构——一个是非交换结构，一个是交换结构，本质完全不同。

本质原因 #

范畴里“若$A\cong C$且$B\cong C$则$A\cong B$”是对的，但这里的问题是，你混淆了“同构”所对应的结构：$R[G\ast H]$和$R[G\times H]$只是都同构于$R[G]\otimes_R R[H]$这个抽象代数对象，但它们各自承载的是自由群、直积群的群代数结构，这两个结构本身是不同的，不能因为都和同一个张量积同构就直接认为它们彼此同构。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者asdq