求解实数x满足方程$e^{x}-1=x(e-1)$，对函数单调性存疑

嗨，我来帮你拆解这个问题～你提到想用费马定理，那咱们先从分析函数$f(x) = e^x - 1 - x(e-1)$的单调性开始，这是找方程实根的核心步骤。

首先，先求函数的导数来判断单调性：
$$f'(x) = e^x - (e-1)$$

接下来找导数为0的点，也就是函数的极值点：
令$f'(x) = 0$，解得 $x = \ln(e-1)$（因为$e-1≈1.718$，所以这个值大概是0.541）。

现在分区间看单调性：

• 当$x < \ln(e-1)$时，$e^x < e-1$，所以$f'(x) < 0$，函数$f(x)$单调递减；
• 当$x > \ln(e-1)$时，$e^x > e-1$，所以$f'(x) > 0$，函数$f(x)$单调递增；

所以你担心的没错，这个函数并不是单调递增的，它是先减后增，在$x=\ln(e-1)$处取得极小值。

接下来我们找函数的零点（也就是方程的实根）：

• 代入$x=0$：$f(0)=e^0 -1 -0*(e-1)=1-1=0$，所以$x=0$是一个实根；
• 代入$x=1$：$f(1)=e^1 -1 -1*(e-1)=e-1 -e +1=0$，所以$x=1$也是一个实根；

再看看极小值点的函数值：
$$f(\ln(e-1)) = (e-1) -1 - (e-1)\ln(e-1) = (e-2) - (e-1)\ln(e-1)$$
计算数值的话，这个值大概是-0.212，小于0。结合函数在$x→-∞$时趋近于正无穷，$x→+∞$时也趋近于正无穷，说明函数在$(-∞, \ln(e-1))$从正递减到负，必然只穿过x轴一次（也就是x=0）；在$(\ln(e-1), +∞)$从负递增到正，也只穿过x轴一次（也就是x=1）。所以方程的实根只有这两个。

关于费马定理的应用：费马定理指出可导函数的极值点处导数为0，我们找到的$x=\ln(e-1)$就是这样的点，但这个点的函数值不为0，所以不是方程的根。而方程的根是函数值为0的点，也就是我们找到的x=0和x=1。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Dior