连续随机变量PDF求解：已知T的PDF求Y=1/(T-1)的PDF

我来一步步帮你梳理这个问题，解决归一化的问题——核心确实是变量约束条件的处理，咱们从基础步骤开始：

已知连续型随机变量$T$的概率密度函数（PDF）为：
$$f_T(t)= \begin{cases} 0 & t <2, \ \frac{2}{(t-1)^3} & t \ge 2. \end{cases}$$
需要通过累积分布函数（CDF）方法求解随机变量$Y=\frac{1}{T-1}$的PDF，此前结果未归一化，推测问题出在变量$t$的约束条件处理上。

第一步：明确$Y$的取值范围 #

先从$T$的有效取值推导$Y$的范围：

• $T$的有效区间是$t \geq 2$，此时$t-1 \geq 1$，因此$Y=\frac{1}{T-1}$的取值范围是$0 < Y \leq 1$（当$t=2$时$Y=1$，$t \to +\infty$时$Y \to 0^+$）。
• 这一步是关键，很多归一化错误都源于忽略了变量取值范围的转换。

第二步：计算$Y$的累积分布函数$F_Y(y)$ #

根据CDF定义$F_Y(y)=P(Y \leq y)$，分三种情况讨论：

1. 当$y \leq 0$时：
   由于$Y$的取值始终为正，因此$P(Y \leq y)=0$，即$F_Y(y)=0$。

2. 当$0 < y \leq 1$时：
   将$Y$替换为$T$的表达式，结合$T-1>0$的特性转换不等式：
   $$P(Y \leq y) = P\left(\frac{1}{T-1} \leq y\right) = P\left(T-1 \geq \frac{1}{y}\right) = P\left(T \geq \frac{1}{y} + 1\right)$$
   因为$0 < y \leq 1$，所以$\frac{1}{y}+1 \geq 2$，刚好落在$T$的有效取值区间内，直接代入PDF积分：
   $$F_Y(y) = \int_{\frac{1}{y}+1}^{+\infty} \frac{2}{(t-1)^3} dt$$
   令$u=t-1$（$du=dt$），积分下限变为$\frac{1}{y}$，计算得：
   $$\int_{\frac{1}{y}}^{+\infty} \frac{2}{u^3} du = -\left[\frac{1}{u^{2}\right]_{\frac{1}{y}}}{+\infty} = y^2$$
   因此$0 < y \leq 1$时，$F_Y(y)=y^2$。

3. 当$y > 1$时：
   此时$\frac{1}{y}+1 < 2$，而$T$的所有取值都满足$t \geq 2$，因此$P\left(T \geq \frac{1}{y}+1\right)=1$，即$F_Y(y)=1$。

第三步：对CDF求导得到$Y$的PDF #

根据PDF与CDF的关系$f_Y(y)=F_Y'(y)$，推导得：
$$f_Y(y)= \begin{cases} 2y & 0 < y \leq 1, \ 0 & \text{其他}. \end{cases}$$

第四步：验证归一化 #

对$f_Y(y)$在整个实数域积分：
$$\int_{-\infty}^{+\infty} f_Y(y) dy = \int_{0}^{1} 2y dy = \left[ y^2 \right]_0^1 = 1$$
完全满足归一化条件，推导正确。

常见错误分析 #

你之前结果未归一化，大概率是以下问题导致：

• 忽略$T$的取值范围$t \geq 2$，当$y>1$时错误地用$\frac{1}{y}+1$作为积分下限，而非直接判定概率为1；
• 转换不等式$\frac{1}{T-1} \leq y$时，未注意$T-1>0$的特性，错误改变不等号方向；
• 积分原函数计算错误，导致最终结果偏离正确值。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Gentleman_Narwhal