请求证明$B = B^+$当且仅当$BB \subseteq B$，求证明思路指引

别担心，咱们把这个证明拆成必要性（由$B = B^+$推出$BB \subseteq B$）和充分性（由$BB \subseteq B$推出$B = B^+$）两个方向来梳理，逻辑会清晰很多：

一、必要性：若$B = B^+$，则$BB \subseteq B$ #

首先回忆$B^{+$的定义：它是由$B$中字符串进行1次或多次连接得到的所有字符串集合，也就是$B}+ = B \cup BB \cup BBB \cup \dots$。

你已经推导出$BB \subseteq B^{+$，这一步完全正确——因为$BB$是$B$中字符串连接2次的结果，显然属于“1次或多次连接”的范畴，所以$BB$肯定是$B}+$的子集。

而题目给出的前提是$B = B^{+$，也就是说$B$和$B}+$是同一个集合，那既然$BB \subseteq B^+$，自然就能得到$BB \subseteq B$，这部分的逻辑就闭环了。

二、充分性：若$BB \subseteq B$，则$B = B^+$ #

要证明两个集合相等，咱们只需要证明它们互相包含就行：

1. 首先，$B \subseteq B^{+$是显然的——因为$B}+$包含了$B$中所有1次连接的字符串（也就是$B$本身），所以$B$肯定是$B^+$的子集。

2. 接下来重点证明$B^+ \subseteq B$，这里用数学归纳法来证最方便：

   • 基例（n=1）：当字符串是$B$中单个元素（也就是1次连接的结果），显然属于$B$，成立。
   • 归纳假设：假设对于任意$k \geq 1$，$B$中字符串连接$k$次得到的所有字符串都属于$B$。
   • 归纳步骤：考虑连接$k+1$次的字符串$s$，它可以拆成$s = t \cdot u$，其中$t$是$B$中字符串连接$k$次的结果，$u$是$B$中的单个字符串。根据归纳假设，$t \in B$；又因为$u \in B$，所以$t \cdot u \in BB$。而题目给出的前提是$BB \subseteq B$，所以$s = t \cdot u \in B$。

   这样归纳下来，所有1次或多次连接得到的字符串（也就是$B^{+$中的所有元素）都属于$B$，即$B}+ \subseteq B$。

结合$B \subseteq B^+$和$B+ \subseteq B$，就可以得出$B = B^+$了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Christian Soto