隐函数求导正确性验证：求(π,π)处切线方程

先梳理你的求导步骤：前两步的复合函数求导和展开操作完全正确，但从移项环节开始出现了符号错误，导致后续推导偏离了正确方向。我们重新一步步推导：

正确的隐函数求导流程 #

1. 原曲线方程：
   $$\sin{(x+y)} = 2x -2y$$
2. 对等式两边关于$x$求导（遵循复合函数求导法则）：
   $$\cos{(x+y)} \cdot (1+\frac{dy}{dx}) = 2 - 2 \cdot \frac{dy}{dx}$$
3. 展开左侧的乘积项：
   $$\cos{(x+y)} + \cos{(x+y)} \cdot \frac{dy}{dx} = 2 - 2 \cdot \frac{dy}{dx}$$
4. 关键移项修正：
   把所有含$\frac{dy}{dx}$的项移到左侧，常数项移到右侧，移项时注意变号：
   $$\cos{(x+y)} \cdot \frac{dy}{dx} + 2 \cdot \frac{dy}{dx} = 2 - \cos{(x+y)}$$
5. 提取左侧的公因式$\frac{dy}{dx}$：
   $$\frac{dy}{dx} \cdot \left( \cos{(x+y)} + 2 \right) = 2 - \cos{(x+y)}$$
6. 解出导数表达式：
   $$\frac{dy}{dx} = \frac{2 - \cos{(x+y)}}{\cos{(x+y)} + 2}$$

计算点$(\pi, \pi)$处的切线斜率 #

将$x=\pi$，$y=\pi$代入导数公式：

• 先算三角函数值：$\cos(\pi+\pi)=\cos(2\pi)=1$
• 代入得斜率：
  $$\frac{dy}{dx}\bigg|_{(\pi,\pi)} = \frac{2 - 1}{1 + 2} = \frac{1}{3}$$

推导切线方程 #

使用点斜式$y - y_0 = k(x - x_0)$（其中$(x_0,y_0)=(\pi,\pi)$，斜率$k=\frac{1}{3}$）：
$$y - \pi = \frac{1}{3}(x - \pi)$$
整理成更简洁的形式：
$$x - 3y + 2\pi = 0$$
或斜截式：
$$y = \frac{1}{3}x + \frac{2\pi}{3}$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jwan622