复分析问题：求F(z)在闭单位圆盘上不连续的实例

刚好教授提示的$f(z)=\bar{z}$就是完美的例子，我一步步给你拆解清楚，刚接触复分析也能轻松看懂：

1. 明确单位圆周上的$f(z)$ #

在单位圆周$\partial D={z:|z|=1}$上，因为$z\bar{z}=|z|^2=1$，所以$\bar{z}=\frac{1}{z}$，显然$f(z)=\bar{z}$是连续函数，满足题目要求。

2. 计算$|z|<1$时的$F(z)$ #

根据定义，此时$F(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D}\frac{f(w)}{w-z}dw$，代入$f(w)=\bar{w}=\frac{1}{w}$，得到：
$$
F(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D}\frac{1}{w(w-z)}dw
$$

先对被积函数做部分分式拆分（可以自己通分验证正确性）：
$$
\frac{1}{w(w-z)}=\frac{1}{z}\left(\frac{1}{w-z}-\frac{1}{w}\right)
$$

将拆分后的式子代入积分，拆分出两个独立的围道积分：
$$
F(z)=\frac{1}{2\pi i}\cdot\frac{1}{z}\left[\oint_{\partial D}\frac{1}{w-z}dw - \oint_{\partial D}\frac{1}{w}dw\right]
$$

用柯西积分公式计算这两个积分：

• 第一个积分$\oint_{\partial D}\frac{1}{w-z}dw$：因为$|z|<1$，$z$在单位圆盘内部，根据柯西积分公式，围道内部的点对应的积分结果是$2\pi i$；
• 第二个积分$\oint_{\partial D}\frac{1}{w}dw$：这是绕原点一周的基础围道积分，结果同样是$2\pi i$。

把结果代入后：
$$
F(z)=\frac{1}{2\pi i}\cdot\frac{1}{z}\left(2\pi i - 2\pi i\right)=0
$$
也就是说，当$|z|<1$时，$F(z)$恒等于0。

3. 验证不连续性 #

在单位圆周$\partial D$上，$F(z)=f(z)=\bar{z}$。我们取圆周上的点$z=1$来看：

• 当$z$从单位圆盘内部趋近于1时，$F(z)$始终是0，所以极限为0；
• 但$F(1)=\bar{1}=1$，显然$0\neq1$，这说明$F(z)$在$z=1$处不连续。

同理，对单位圆周上任意一点$z=e^{{i\theta}$，内部点趋近于它时$F(z)$的极限是0，而$F(e}{i\theta})=\bar{e^{i\theta}}=e{-i\theta}\neq0$，因此$F(z)$在整个闭单位圆盘$D(0,1)$上不连续。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者HAC